Det lyder som om du ikke bruger en router. Det bør du.
Hvis du bare kører med den basale udgave af en SPA, hvor nye komponenter vises når du klikker på noget andet, så er det klart, hvis scriptet bliver startet forfra, som ved en opdatering af browseren, så havner du ved udgangspunktet, startsiden, fordi ingenting er blevet klikket på endnu.
I stedet skal du modificere URL'en for siden (f.eks. med history.pushState eller ved at bruge hash), og så udføre visning af underkomponenter ved bestemte URL'er, ikke ved klik.
Det er rimelig nemt at skrive en Javascript router selv, men der findes også masser af færdige. F.eks. er der noget der hedder React-router, nu du bruger React. Jeg har ingen erfaring med den, men den ser ud til at opfylde dit formål.
Tilladte BB-code-tags: [b]fed[/b] [i]kursiv[/i] [u]understreget[/u] Web- og emailadresser omdannes automatisk til links. Der sættes "nofollow" på alle links.