Redirecte

Jo du kan, men jeg gætter på at du får en fejlmeddelese i stil med

Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /www/vorbasse.dk/subdomains/veteranbiler/medlem/login.php:10) in /www/vorbasse.dk/subdomains/veteranbiler/medlem/login.php on line 11

grrr....prøver igen :-)
i stil med: Header already sent. Du må ikke lave html eller print inden du laver redirect.

Hvordan vender jeg så dette om?

if ($brugernavn == $fundt && $password == $fundt) {
        print "Forkert brugernavnpassword";
    } else {
        print "Fundet :)";
    header("Location: showpage.php");
    }

Vise evt. fejl i den side du er i, eller sende fejlmeddelelser med over til den næste side som fx. en session variabel.

det fattede jeg ikke

Drop linien med
print "Fundet :)";
Den ser man jo alligevel ikke

if ($brugernavn == $fundt && $password == $fundt) {
        print "Forkert brugernavnpassword";
    } else {
        header("Location: showpage.php");
    }

kort : du kan ikke både printe noget og samtidig sende headers (eg. redirect'e)
derfor skal du ENTEN bruge print() ELLER bruge header(). fjern denne linie :
    print "Fundet :)";

Den er allerede væk.

Koden ser nu således ud:

<?
if ($mode == "login") {
    mysql_connect("localhost", "donslund", "veterankasse");
    mysql_select_db("veteranbil");
    $Hent = mysql_query("Select * from medlemmer where brugernavn='$brugernavn' and password='$password'");
    $fundt = mysql_num_rows($Hent);
    if ($brugernavn != $fundt or $password != $fundt) {
                header("Location: showpage.php");       
    } else {
        print "Forkert brugernavnpassword";

    }
} else {
    print "Hello World";
    print "<form method=\"post\" action=\"login.php?mode=login\">";
    print "<input type=\"text\" name=\"brugernavn\"><br>";
    print "<input type=\"password\" name=\"password\"><br>";
    print "<input type=\"submit\">";
    print "</form>";
}
?>

Så skal du rette din if til som jeg sagde i dit andet spørgsmål

Du kunne fx. gøre flg:

$msg = '';
if ($brugernavn == $fundt && $password == $fundt) {
$msg = 'Forkert bruger/password';
else {
  header('location: showpage.php');
  return;
}

bla
bla

lige før body:

<?
if (strlen($msg) > 0) {
?>
<script language='javacsript'>
alert('<?= $msg ?>');
</script>
<?
}
?>

Prøv med:
$fundt = mysql_num_rows($Hent);
    if ($fundt==1) {//Send videre til næste side!
    }
    else
    {
        //Fejl!

Nu ser koden således ud:

<?
if ($mode == "login") {
    mysql_connect("localhost", "donslund", "veterankasse");
    mysql_select_db("veteranbil");
    $Hent = mysql_query("Select * from medlemmer where brugernavn='$brugernavn' and password='$password'");
    $fundt = mysql_num_rows($Hent);
    $msg = '';
        if ($brugernavn == $fundt && $password == $fundt) {
        $msg = 'Forkert bruger/password';
        } else {
  header('location: showpage.php');
  return;
}

} else {
    print "<form method=\"post\" action=\"index.php?mode=login\">";
    print "<input type=\"text\" name=\"brugernavn\"><br>";
    print "<input type=\"password\" name=\"password\"><br>";
    print "<input type=\"submit\">";
    print "</form>";
}
?>

Men den lukker hvad som helst igennem blot enten brugernavn eller password er korrekt.
Skal denne linie:

if ($brugernavn == $fundt && $password == $fundt) {

ikke hedde noget lignende

if ($brugernavn != $fundt or $password != $fundt) {

Prøv at høre hvad jeg og regin siger

Okay okay - regin, du vandt. Tak for tålmodigheden alle sammen