Differential opgaver for begyndere.

..Jeg er ikke lige den skarpeste ske i skuffen på nuværende tidspunkt, men prøver alligevel ;-)

Du skal differentiere følgende funktion, f(x)=(2x^4-1)^3, hvilket er en sammensat funktion. hvis du forestiller dig, at 2x^4-1 er en funktion,vi kalder den u, så kan du skrive (u)^3, hvilket vi kan kalde for y. nu har du altså, at funktion, er sammensat af u og y, dvs, y = (u)^3.

Når du skal differentiere så skal du differentiere hver af funktionererne (u og y) og gange dem sammen. Dvs. f'(x) = y' * u'

y'= 3*(u)^2 og u'= 4*2x^3 = 8x^3, nu skal de bare ganges sammen,

(8x^3)*(3*(u)^2) = 24x^3*(u)^2, til sidst kan du sætte u tilbage i udtrykket, dvs.

f'(x)= 24x^3*(2x^4-1)^2

Håber det hjalp lidt!!

Okay, mange tak.

Hvis den nu hedder (3x-2)^-3 i stedet, er det her så rigtigt:

Ydre: -3(3x-2)^-4 og så sætte u = (3x-2)
Men hvad så med den indre?

Jep, helt rigtig!

Du skal bare lige have gange den "indre", u' på!

u'= 3, dvs.

3*-3(3x-2)^-4 = -9(3x-2)^-4

Okay, men er det ikke korrekt, at svaret også bare kan være -9x^-4?

Nope, det tror jeg ik, hvordan er du kommet frem til det?

Det er fordi jeg sad og snakkede med nogen før, og kom også i tanke om, at vi i skolen bare gjorde følgende:

Kaldte den første funktion g(x) = x^-3
Anden funktion h(x) = 3x-2

Begge diff:
g'(x) = -3x^-4
h'(x) = 3

Ganger man de to sammen får man (-3x^-4)*3 altså (-3x^-4) + (-3x^-4) + (-3x^-4) = -9x^-4

Grunden til jeg tror det er rigtigt er, at jeg aldrig har set den måde du bruger før.

Det er i princippet det samme vi gør, du skal bare substituere x tilbage i udtrykket.

x=3x-2, det er det du kalder h(x)

så egentlige er g(x)= h(x)^-3

Okay, men tror faktisk jeg skal aflevere det sådan her. Øhm, har en nu, som hedder f(x) = cos(5x) + (1/sinx)... forslag?

g'(x)= -3h(x)^-4    h'(x)=3

h'(x) * g'(x) = 3*-3h(x)^-4 = -9h(x)^-4, når du så substituerer udtrykket for h(x) tilbage.

-9(3x-2)^-4

Ja, jeg er med. :)

Hehe..ok :)

Jeg kigger lige på den anden, nu bliver det jo straks værre, men ikke meget :D

Det er noget med, at man når diff cos(5x) så får man noget med sin?

Jep 2 sek, er lidt rusty, skal lige i gang igen

Det første led giver under alle omstændigheder -5*sin(5x)

Det 2.led er lidt mere tricky, men jeg er ved at have den :P

Lyder godt. :) Bagefter, hvis du kan, må du meget gerne prøve at forklare hvorfor det bliver -5*sin(5x)

Der er lidt her: http://formel.dk/matematik/differentiation/differentiation.htm
Og den i skal bruge nu er den her: http://formel.dk/matematik/differentiation/differentialtion_af_sin.htm

Hygge

Men 1/sinx, er det ikke det samme som sinx^-1?

Sådan! Nu har jeg den :D

f(x)=cos(5x)+(1/sin(x)) => f'(x) = -5cos(5x)+(-1)*cos(x)*sin(x)^-2

Mener du ikke -5sin(5x), og hvad sker der med resten?

Vrøvl!!


f(x)=cos(5x)+(1/sin(x)) => f'(x) = -5sin(5x)+(-1)*cos(x)*sin(x)^-2

Godt så.. har du mod på at forklare alt det her:

Mener du ikke -5sin(5x), og hvad sker der med resten?

Okay, her er så forklaringen!

1.led:
cos(5x), gør ligesom i dine forrige opgaver, start indefra:

u=5x, og y=cos(u)

u'*y'=5*-sin(u), sæt u ind i udtrykket, så giver det: 5*-sin(5x) = -5sin(5x)

Cool nok, og hvad så med 1/sinx

2.led:
1/sin(x) = sin(x)^1, start indefra:

z=x, u=sin(z) og y=u^-1, som du kan se er der her 3 sammensatte funktioner, derfor tog det lige lidt tid :D

z'*u'*y'=1*cos(z)*-1*u^-2, sæt z og u tilbage i udtrykket:

f'(x)= 1*cos(x)*-1*sin(x)^-2 => f'(x)= -1cos(x)*sin(x)^-2

Rettelse....
2.led:
1/sin(x) = sin(x)^-1, start indefra:...

Fuck den er syg nok.. fail at vi har fået den for, men tror jeg har fattet det. Men hvorfor sætter du z = x.. er det virkelig nødvendigt

Egentlig ikke, det for at følge princippet (kæderegelen), præcis ligesom du gør i 1.led på cos(5x). Her er vi så bare heldige at der står sin(1*x), men der kunne jo ligeså godt have stået sin(5x).

Men hvorfor bliver det sin(x)^-2 og ikke -sin(x)^-2? du skriver jo selv, at det er -1*sin(x)^-2

Jo, men faktorernes orden er ligegyldig, dvs: f'(x)= 1*cos(x)*-1*sin(x)^-2, er det samme som: f'(x)= -1cos(x)*sin(x)^-2, jeg rykker bare -1 helt frem foran udtrykket.

Jeg kunne også skrive: f'(x)=sin(x)^-2*cos(x)*-1, det giver nøjagtig det samme, uanset rækkefølgen.

Forvirring er altid godt. :) Så f'(x) = -5sin(5x)*cos(x)*(-1)sin(x)^-2 er lige så korrekt?

Mehh..nu tror jeg der går noget galt, det fuldstændige resultat, som jeg skriver tidligere er: f(x)=cos(5x)+(1/sin(x)) => f'(x) = -5sin(5x)+(-1)*cos(x)*sin(x)^-2 =
-5sin(5x)-cos(x)*sin(x)^-2

husk der er + mellem 1. og 2.led, ikke gange! Jow, forvirring er altid godt!! :D

Men jeg forstår ikke hvorfor du vil have -1*cos(x), for det der -1 kommer da af, at du differentierer sin(x)^-1, gør det ikke? Så det bliver til -1sin(x)^-2? Dermed skal der jo stå (-1)sin(x)^-2

Ah, okay, så -5sin(5x)+cos(x)*(-1)sin(x)^-2

Det er jo også ligemeget om du siger -5*6 eller 5*-6, du kan rykke minuset som du vil, så længe det er mellem faktorer.

Ja, okay, men er mit svar korrekt nu? Altså -5sin(5x)+cos(x)*(-1)sin(x)^-2

Helt korrekt :P

Godt så. :) Jeg har en opgave, som kan være så nem, at den forvirrer mig. f(x) = sin(x^2), men noget siger mig, at det ikke kan passe, at det bare er cos(x^2)?

Geezzz...hvor mange opgaver har i for?? ;)

Den er ikke rigtig, hvorfor bliver x^2 ikke differentieret og ganget på,

f(x)=sin(x^2) => f'(x)=2x*cos(x^2)

Okay, men det jeg ikke helt forstår så. På det link der der blev givet tidligere, der står sinu = cosu, hvorfor passer det så ikke i den her sammenhæng?

Tro mig, jeg er langt fra færdig.

Hvis man nu skulle dele den op, ville det så ikke blive:

g(x) = x^2        g'(x) = 2x
h(x) = sin(x)      h'(x) = cos(x)

Mehh..glem de der links, brug kædereglen som du har brugt tidligere, linkene viser de simpleste afledninger, f(x)=sin(x)=> f'(x)=cos(x), cos(x)=>-sin(x)

Okay, så den jeg bruger nu er bare f(x) = sin(x) => f'(x) = cos(x)

h(x)=x^2 og g(x)=sin(h(x))

h'(x) * g'(x)= 2x*cos(x^2)

Sådan der.. ikke så meget fis, godt, tak.

:P..hvor mange opgaver mangler du??

En til af den her slags, og så 4 integral opgaver, som ligner dem her meget. Dem er jeg også meget i tvivl om, men tror jeg er bedre stillet efter at have fået din hjælp til dem her. Derudover har jeg to underlige opgaver, som bare er "normale", som jeg skulle kunne løse uden større problemer. Den sidste af den her slags er:

f(x) = sqrt(4-x)

Skal den deles op som:

g(x) = sqrt(x)
h(x) = sqrt(x-4)

... noget i den stil?

Så jeg bak, hmm...er sq lidt usikker på den der kvardratrodsting :S

Er ikke sikker på det her er rigtig!! Men noget i den her stil.

h(x)=4-x og g(x)=sqrt(h(x)), det kan også skrives g(x)= h(x)^(1/2), så er fremgansmåden ellers den samme som i forrige opgave.

h'(x) * g'(x) = -1*(1/2)*h(x)^(-1/2) => f'(x)= -(1/2)*(4-x)^(-1/2)

Er som sagt ikke helt sikker på det rigtigt!

g( x ) = sqrt( x )            g'( x ) = (1) / 2*sqrt ( x )
h( x ) = 4-x                  h'( x ) = -1

Altså får jeg -1 * (1)/2*sqrt(4-x)

Kan det ikke passe bedre? En af mine venner mener det nok er rigtigt.

bumbumbum...nahh..jeg tror desværre ikke det er helt rigtigt!..Har I ikke en eller anden total brainy i klassen?? :D

Jo, men han er hoppet på a+ holdet, så han har ikke de samme opgaver længere. :P Må bare prøv mig frem, og så lige høre min lærer ad. Men mange tak for din hjælp.

Svar lige en gang btw.

okidoki :P, tænker lige lidt over den, det kan være jeg poster et indlæg i morgen, hvis jeg altså kan finde ud af den! :S

Du skal være velkommen. Skal heldigvis først aflevere tirsdag.

Skal smutte nu her, men hvis det er, kan du altid lige grifle de andre opgaver ned, så kigger jeg på dem på et tidspunkt.

Okay, det gør jeg lige så. :)

Angiv ubestemte integraler:

Jeg er meget i tvivl om hvad det helt præcist er, der skal ske, men har kigget på den første:

integral (sinx + 2cosx) dx = (cosx + ½sinx) dx

Det er hvad jeg tror den første skal være, men er meget i tvivl.

De andre:

b: integral sin 12x dx

c: integral -6 dx

d: 5 * x^-5 dx

d: integral også. :)

Oki, her kommer svarene til de sidste opgaver, jeg bruger S for integral og K gor konstant.

a: S( sin(x)+2cos(x) )dx => -cos(x)+2sin(x) +K

b: S( sin(12x) )dx => (1/12)*-cos(12x) +K

c: S( -6 )dx => -6x +K

d: S( 5x^-5 )dx => (5/-4)*x^-4 +K

Jeg er 100% sikker på de her er rigtig, men hvis du er i tvivl om resultaterne, så kan du lige prøve at differentiere dem, så skulle du gerne komme tilbage til indholdet af    integraltegnene. :D

Hey igen.

Virkelig lækkert du gider. Jeg er dog ved at arbejde på en kæmpestil lige nu, så jeg kigger på svarene i aften, skal som sagt tidligere heldigvis først aflevere tirsdag.

a'eren, der sagde min lærer bare, at 2cosx = ½sinx og ikke 2sinx - aner ikke hvorfor.

Heh..Hvis man diff. (1/2)*sin(x) = (1/2)*-cos(x)...

Måske drikker han lidt for meget rødvin?? :P

Ej, er sq også kommet ud for at min lærer har set et eller andet galt, only human!! :D

Tror ikke helt jeg fatter det med diff af cos og sin. Hvad er det helt præcist du gør i b'eren f.eks?

Det er lidt sent jeg svarer, hvis du skal aflevere i morgen, men anyway...

f(x)= sin(x) => F(x)=-cos(x)

Det er hvis man skal ta' intergralet på sin(x)

Nu har du så f(x)= sin(12x) => F(x)= (1/12)*-cos(12x)+K

Hvis du have vil have et generelt udtryk, kan man vel sige, at:
f(x)= sin(ax) => F(x)= (1/a)*-cos(ax)+K

Hvis man differentierer det resultat, man netop har fået, skulle man gerne vende tilbage til det udtryk der skal integreres. Hvis vi tager udgangspunkt i opg b:

resultat: (1/12)*-cos(12x)+K. Denne funktion består af et produkt (konstanten falder jo bort når der diff.), hvor den 2.faktor er et sammensat produkt(ligesom de diff. opg du har regnet nu her).

Når et produkt skal diff. gøres det således. u*v= u'*v+u*v'
Som du kan se, så svarer (1/12) til u og -cos(12x) til v
Når du følger formlen, giver det:

f(x)= u*v => f'(x)= 0*-cos(12x)+(1/12)*12*sin(12x) = sin(12x)

Nu har du gjort prøve, og set, at dit udregnede resultat er korrekt!

Her er rækkefølgen for diff. af sin/cos. = sin => cos => -sin(x) => -cos(x)...og sådan kører  den så i cirkler...

Og hvis du skal integrere, ja så kører du den bare i omvendt rækkefølge.