Matematik; integrale; (e^x)*cosx dx

Benyt partiel integration; S[f*g]dx = F*g-S[F*g']dx (*)

Sæt nu f=e^x og g=cosx, da følger af (*)

S[e^x*cosx]dx = e^x*cosx-S[e^x*-sinx]dx = e^x*cosx+S[e^x*sinx]dx <=>

S[e^x*cosx]dx = e^x*cosx+S[e^x*sinx]dx, nu udfører du partiel integration en gang til på leddet S[e^x*sinx]dx. Jeg sætter leddet i {}, så du bedre kan følge det.

S[e^x*cosx]dx = e^x*cosx+S[e^x*sinx]dx = e^x*cosx+{e^x*sinx-S[e^x*cos]dx} <=>

S[e^x*cosx]dx = e^x*cosx+e^x*sinx-S[e^x*cos]dx, nu lægger du S[e^x*cos]dx til på begge sider, dvs.

S[e^x*cosx]dx + S[e^x*cosx]dx = e^x*cosx+e^x*sinx-S[e^x*cos]dx + S[e^x*cosx]dx <=>

2*S[e^x*cosx]dx = e^x*cosx+e^x*sinx <=>

S[e^x*cosx]dx = (e^x*cosx+e^x*sinx)/2, du kan evt. sætte e^x uden for parentes,

S[e^x*cosx]dx = e^x*(cosx+sinx)/2

:)

lukket