Maksimal fortjeneste?

Hvis fortjenesten er lineær, dvs. samme for alle tons man sælger, kan den beskrives som en funktion af x.

g(x)=308x

Hvis du plotter begge kurver vil du se at der er et interval hvor omkonstningerne er mindre end fortjenesten. Så det er nok dette interval der er interessant (det ligger ca.  10 < x < 20).

Næste del må være at finde den maksimale afstand, i det relevante interval, mellem:
f(x) = x^3 - 30x^2 + 500x + 30

og
g(x) = 308x

godt - så langt kom jeg også selv :) men hvordan kan jeg bestemme den maksimale afstand mellem de 2 linjer?

Tjaaa, det er et godt spørgsmål.

Jeg ved ikke hvordan man kan finde den eksakte værdi.

Men den kan approximeres ved brute-force.

F.eks. dette lille Java program:

public class Maximize
{
    public static double fx(double x)
    {
        return x*x*x - 30*x*x + 500*x + 30;
    }
   
    public static double gx(double x)
    {
        return 308 * x;
    }
   
    public static void maximize(double x1, double x2, double interval)
    {
        double x = 0;
        double currentMax = 0;
        for(double i=x1;i<x2;i+=interval)
        {
            double diff = gx(i) - fx(i);
                       
            if(currentMax < diff)
            {
                x = i;
                currentMax = diff;
            }
        }
        System.out.println("Max is x = " + x);
        System.out.println("\tgx(" + x + ") = " + gx(x));
        System.out.println("\tfx(" + x + ") = " + fx(x));
        System.out.println("\tdiff = " + (gx(x) - fx(x)));
    }
   
    public static void main(String args[])
    {
        maximize(9.5d, 20.6d, 0.1d);
    }
}

Output:
Max is x = 15.999999999999977
    gx(15.999999999999977) = 4927.999999999993
    fx(15.999999999999977) = 4445.999999999993
    diff = 482.0

Man kunne jo også sige, at fortjenesten er differencen mellem de to funktioner, altså at funktionen for fortjenesten er:

308x - (x^3 - 30x^2 + 500x + 30)

-- så får man følgende funktion for fortjenesten:

f(x) = -x^3 + 30x^2 - 192x - 30

Man kan så bestemme de(t) interval(ler), hvor f(x) > 0 for det er jo irrelevant, hvis man taber penge !-)

Men så kan man jo også lige finde det sted, hvor gærdet er lavest, nemlig ved at finde toppunkter på funktionen, og et toppunkt er der, hvor f'(x) = 0, altså differentierer vi (og jeg kan knap huske, hvordan det er, men det kan I vel bare rette mig i, hvis jeg regner galt !-)

f'(x) = -3x^2 + 60x - 192, dvs. f'(x) = 0 er:

x = (-60 +/- sqrt(60^2 - (4 * -3 * - 192)))/ (2 * -3) <==>

x = (-60 +/- sqrt(1296))/-6 <==>

x = 10 +/- 6 <==>

x = 4 v x = 16

f(4) = -4^3 + 30 * 4^2 - 192 * 4 - 30 = -64 + 480 - 768 - 30 = - 382 (altså det nedre toppunkt på 3.grads-polynomiet !-)

f(16) = -16^3 + 30 * 16^2 - 192 * 16 - 30 = - 4096 + 7680 - 3072 - 30 = 482 (bingo, det er maksimal fortjeneste !-)

Hov, jeg glemte lige et argument:

Vi ved at en 3.grads-funktion er kontinuert i 3 intervaller: [-uendelig;4[ , ]4;16[ og ]16;uendelig] -- altså afgrænset af toppunkterne !o]

Da vi simpelt kan konstatere at produktionen selvsagt ikke kan være negativ, at f(0) = -30 og den er faldende undtaget mellem toppunkterne (3.grads-ledet er negativt !-) er den altså konstant negativ i intervallet [0;4[ og igen faldende fra det andet toppunkt ...

Derfor må det andet topppunkt være den maksimale fortjeneste ;O)

-- og, soreno, vi kan vel konstatere, at beregningsusikkerheden i din Java VM er på omkring 10^-15 *g*

super... tak skal du have roenving..

så mangler jeg bare et svar..

Velbekomme '-)