Matematik: Trekantberegning

30 = a^2 + b^2 + c^2
c^2 = a^2 + b^2
30 = a^2 + b^2 + a^2 + b^2
a^2 = b^2
30 = 4(k^2) || k for katete
30/4 = k^2
k = sqrt(30/4)

måske er dette en hjælp?

1. Vinklerne kan være alt muligt andet, hvis ikke trekanten skal være ligebenet (selvfølgelig undtaget den rette vinkel !-)

2. Pythagoras virker ganske udmærket omend lidt kringlet i denne situation:

Sæt hypotenusen til x, så vil Pythagoras sige:

2 * y^2 = x^2 <==> y^2 = (x^2)/2 <==> y = sqrt((x^2)/2)

Så du kan lave en ny ligning, som ser således ud:

2 * sqrt((x^2)/2) + x = 30

Prøv at tænke over dette:

En trekant overholder a^2 + b^2 = c^2

Vi har da at a^2 + b^2 + c^2 = 30

Det er kendt at en trekant med siderne 3,4,5 er retvinklet,
og har derfor også en total længde på 3+4+5=12.

Dette forhold kan du regne på: 30/12 = 2,5

Denne faktor skal så ganges på 3,4,5 trekanten.

3*(2,5) + 4*(2,5) + 5*(2,5) = 12*(2,5)
=
7,5 + 10 + 12,5
=
30

Vi har nu fundet hvad vi søgte.

Din trekant har sider med længder: sqrt(7,5), sqrt(10), sqrt(12,5)
(sqrt er kvartratroden)

Håber det hjalp!

Ups!  længerne skal der selvfølgelig IKKE tages sqrt på :)

.. længderne er 7,5 og 10,0 og 12,5 cm

x4all_dk -> de to kateter kan aldrig blive forskellige hvis vinklerne er 90;45;45 grader..

-- og den videre beregning:

2 * sqrt((x^2)/2) = 30 - x <==>

4 * (x^2)/2 = x^2 - 60x + 900 <==>

x^2 + 60x - 900 = 0 <==>

x = -30 +/- 42,426406871192851464050661726291

-- og da en længde kun kan være positiv, blive hypotenusen altså: 12,426406871192851464050661726291

-- og kateterne: 8,786796564403574267974669136855

gartzen ->  technux skriver: 
Vinklerne kommer logisk nok til at være 90 grader, 45 grader, 45 grader.

Jeg antager at dette er technux egen tolkning.

x4all_dk -> ja det er selvfølgelig rigtigt, men der er jo på den anden side heller ingen der har sagt at den er magen til din 3,4,5 trekant?

gartzen -> nej, det er rigtigt. Min er en mulig løsning blandt mange, med den egenskab at den har pæne tal.

ja men ikke hvis den skal være ligebenet som jeg (tror) han forespørger :-)
(uendelig diskution af subjektiv opfattelse c",)

Det kan være svært at tegne en trekant med længderne:
12,426406871192851464050661726291
8,786796564403574267974669136855

.. jeg kan ihvertfald ikke :)

technux-> Hvad sider du ?

(siger)

x4all_dk 08/11-2004 14:59:47 -> nej men det kan du jo blive nød til hvis opgaven lyder på en trekant med 90,45,45 vinkler og 30 sidelængde ialt ;o)

-- og hvis opgaven går på at lave hele tal, skal man kigge på en trekant med side-længderne 5, 12 og 13 !-)

gartzen -> ud fra din antagelse har du selvfølgelig ret!

;-)

Mange tak for jeres svar. Jeg er blevet en del klogere nu :-)

Trekantet skal blot være retvinklet og have samme grader, da den skal være ligebenet (hvilket jeg selvfølgelig skulle have skrevet i det oprindelige indlæg).

Trekantet skal tegnes og de øvrige opgaver i det jeg sidder med her er MEGET nemme, fx.: "Tegn en ligesidet trekant". Det undrer mig derfor, at dette tilsyneladende er SÅ vanskeligt (jf. de ca. 30 decimaler :))

Andre råd? Ellers deler jeg point ud til jer.

Gartzen -> Jeg kan godt se logikken i det du skriver i første svar, men jeg får et underligt resultat ud af det.

sqrt(30/4) = 2,74

Hvilket aldrig vil bringe det op på 30. Kan du uddybe yderligere?

hmm.. det er da noget forfærdeligt rod x4all_dk og jeg har rodet os ud i c",)
a^2 + b^2 + c^2 != 30

men derimod er a + b + c = 30

så hold dig til rownvigs version! :)

Problemet løses enklest som følger:


aa + bb = cc  (Pythagoras)
aa + aa = cc  (fordi a=b, da trekanten i opgaven er ligebenet)
2aa = cc


Nu tages kvadratroden på begge sider.
Dvs:
c = (kvadratrod 2)a
c = 1,41a


(NB! Bemærk venligst at jeg for nemheds skyld skriver denne kvadratrod som et decimaltal for at undgå al den visuelle forvirring i ligningerne med bl.a. kvadratrødder, som man ikke kan skrive her på Eksperten, samt at jeg kun medtager to decimaler, men selvfølgelig bibeholder samtlige decimaler i lommeregnerens hukommelse under alle mellemregninger.
Desuden har jeg udeladt alle ”ensbetydende-tegn”, også for overskuelighedens skyld)


Opgavens kantlængdekrav er:
a + b + c = 30
a + a + c = 30  (igen fordi a = b)


Nu indsættes værdien for c, som vi fandt før:
Dvs:

a + a + 1,41a = 30
2a + 1,41a = 30
(2 + 1,41)a = 30
a = 30/3,41
a = 8,79

Heraf fås værdien for c ved indsættelse i udtrykket vi fandt i starten:

c = (kvadratrod 2)8,79
c = 12,43


Læg mærke til at man på denne mest enkle måde at løse problemet på HELT undgår at skulle løse andengradsligninger, som roenving begiver sig ud i (selvom det roenving gør, er rigtigt, om end temmelig besværligt og ganske unødvendigt) eller skal tage kvadratrødder af brøker, som han også gør.

I matematik er den enkleste måde altid den bedste. Matematik bruges for at forenkle problemer – ikke komplicere dem!

Ovenstående kan opskrives ret kort og hurtigt uden alle de pædagogiske mellemregninger således:

Pythagoras:
aa + aa = cc
2aa = cc
c = 1,41a

Kantlængdekrav:
a + a + c = 30
c = 30 – 2a

Det er to ligninger med to ubekendte, som blot løses.
NB! Igen har jeg udeladt ”ensbetydende-tegn”

Endelig må jeg sige at x4all_dk’s opfordring den 8. nov. kl. 14.40 til at tænke over hans to næste linier, er meget, meget uheldig, idet de er helt, helt forkerte.
Desværre!
Men hans forsøg er jo venligt nok ment, som tydeligt fremgår af hans engagement.

Det er som bekendt kun de retvinklede trekanter, der opfylder Pytahagoras
Og hans næste linie er helt ude i skoven (linien med aa + bb + cc = 30).
Det er selvfølgelig det jeg har benævnt kantlængdekravet, han skulle have skrevet.


Men der findes en såkaldt ”Udvidet Pythagoras”,
som alle trekanter opfylder (også dem der ikke er retvinklede)
og den kommer her:

cc  =  aa + bb -2ab cosinus C


NB! Der er gangetegn mellem 2ab og cosinus til C.
C er vinklen imellem siderne a og b.
Når C = 90 grader, bliver cosinussen lig med nul og så haves den alm. Pythagoras.

Der er såmænd intet vanskeligt i at tallene ikke bliver hele pæne tal.

Det er mht. forståelsen af principperne i løsningen af opgaven helt uvæsentligt at tallene bliver irrationale tal. Man fjerner blot alle de "unødvendige" decimaler. De er ikke det mindste væsentlige for opgaveløsningen.
Det er måden at løse opgaven på, som er vigtig og ikke andet. Det er løsningsmåden, der viser, om man har overblikket !!

Som det kan ses ovenfor er opgaven faktisk ikke særlig svær, når bare man griber den rigtigt an. Det giver blot to ligninger med to ubekendte - og det er jo faktisk ikke andet end folkeskolematematik, hvor denne opgave måske netop også er stillet.

Tak for dine svar, qak. Det var lige hvad jeg havde brug, simplet of enkelt :-)

Selv tak .......sku' det være en anden gang!
En af mine sidste kommentarer fra før bør nok revideres en anelse:


I matematik er den enkleste løsning altid den smukkeste.


Når man kommer lidt højere op i matematikken og fysikken, kan eksempelvis mange kvantemekaniske problemer i fysikken løses vha. kraftige værktøjer fra tensoroperator-algebra og gruppeteori, end med blot simpel matrixregning.

"Bedst " må derfor altid ses i forhold til den enkeltes matematiske niveau.