Matematik: Længden af en vektorfunktion

Kunne du ikke lige opskrive den konkrete opgavetekst?
Lige mht. dit ordvalg, så er det længden af en nærmere bestemt del af GRAFEN for vektorfunktionen - ikke vektorfunktionen selv - du ønsker at finde.

Men læg lige opgaveteksten frem, så er det nemmere at forklare.

jeg har ikke en opgavetekst

jeg skal selv finde på ting, som man kan finde ud af, når man har visse oplysninger.

jeg HAR fundet selve afstanden mellem de to punkter, altså den rette linie mellem dem - jeg vil finde længden af selve kurven mellem de to punkter.

Men hvordan gøres det? - vil du have funktionen da?

Her er en tilstrækkelig gennemgang af emnet:
http://www.maths.abdn.ac.uk/~igc/tch/ma1002/int/node21.html

det er bare skidt... har ikke lært om sinh() endnu...

kan det ikke gøres lettere/på lavere niveau

Nej, det kan det desværre ikke! Det er "lavt"!

Du er nødt til at sætte dig ind i den teori, jeg henviste til. Minimum, men også fuldt tilstrækkeligt.
Jeg har ADSKILLIGE bøger hvori der står det samme og lidt mere til.

Men der er nu ikke noget specielt svært ved de hyperbolske trigonometriske funktioner.
Du kan lære at regne med dem på ½-1 time!

okay.. lyder godt... - har du tilfældigvis et sted, hvor der står noget dokumentation?

Hvad tænker du på med dokumentation?
De bøger jeg henviste til før, er alle på engelsk.

Siden jeg gav link til, indeholder præcis, hvad du har brug for og indeholder IKKE ny teori i forhold til hvad man lærer om differentialer og differentiabilitet i matematisk gymnasium.
Mere behøver du ikke at vide, og det svarer som sagt præcist til hvad du kan finde i diverse lærebøger til matematisk gymnasium.


I ovenstående weblink står i øvrigt kun, hvad der svarer til én enkelt side i en matematikbog - derudover er der tre fine eksempler på anvendelse af kurvelængdeformlen (den indrammede formel!). Så det er ikke voldsomt!

Sæt dig stille og roligt ned og se på siden og spørg evt. din matematiklærer eller en matematikkammerat!

Du tænkte måske på dokumentation om de hyperbolske trigonometriske funktioner ?

Bare søg på Google, som det lyster dig .............. både udenlandske og indenlandske sider.
De vil vælte frem til dig!!

Du skal heller ikke specielt bruge det med cosh() og sinh().

Det vedrører jo KUN Example 2.6:

"What is the length of the graph y = cosh(x) between x = 0 and x = a?
In this case dy/dx = sinh(x) so ......."

Jeg er da nødtil at kendte teorien bag mine formler... ellers tror læreren jo at jeg har fået en person til at lave skidtet... - derofr jeg spurgte om du ikke havde noget dokumentation til sinh() og cosh() - men jeg kan vel som sagt bare slå op i min matematikbog - og nej, jeg kan ikke spørge min matematikkammerater... jeg er "foran" dem... - men tak for rådene - lægger du et svar?

Et af mine indlæg er faktisk et svar - det med linket !

Teorien bag formlen står i linket - det er såmænd ikke længere.
Derudover skal du så selvfølgelig anvende din baggrundsviden om differentialregning.

Som jeg skrev lige før, er cosh() og sinh()  I K K E  en del af teorien.
Det var kun en del af et eksempel!

ja... men man er nødtil at kende sinh() og cosh() for at anvende skidtet i en dokumentation, der skal afleveres.

men ja... jeg vil kigge på det.

The curves of sinh(x) and cosh(x):
http://www.ucl.ac.uk/Mathematics/geomath/level2/hyper/hy2a.html

Differentiating sinh(x) and cosh(x);
http://www.ucl.ac.uk/Mathematics/geomath/level2/hyper/hy4.html

Integral of cosh(x):
http://www.math2.org/math/integrals/more/cosh.htm

Proof: Integral cosh(x):
http://www.math.com/tables/integrals/more/cosh.htm

Som du kan se finder man omgående relevante links via Google!
Tager ikke mange sekunder.

God fornøjelse med det hele.
Ses næste gang.

> jsc:

I skyndingen tidligere i aftes kom jeg udelukkende til at give dig links til begrebet ”kurvelængde” i kartesiske koordinater – dvs. koordinaterne x og y i et ”almindeligt” koordinatsystem.

Men det var jo mht. til vektorfunktioner, du direkte spurgte.
Der er imidlertid i virkeligheden ikke noget nyt under solen, idet det er blot to sider af samme sag.
Man kan anskue begrebet ”kurvelængde” ud fra flere andre former for koordinater og såkaldte parametriseringer. Se linket til sidst i dette indlæg.


NOTERNE fra Århus Universitet
Se fx noterne her ( http://home.imf.au.dk/emil/filer/genfortaellinger.pdf ) fra Århus Universitet i Matematik 11 på side 13-20. Du skal ikke læse det; det vil også nok forekomme dig temmelig svært...........:-)
På siderne 17-19 bevises formel 1.21 fra side 16.
Beviset ender på side 19, og lige efter dette på side 19 ser du ”Formlen for Kurvelængden fra Gymnasiet”.
Den er vist i Eksempel 1.22.
Det er formlen, når du har en vektorfunktion!

Som du kan se ligner den rigtig meget formlen i kartesiske
koordinater, som jeg gav dig i aftes!



B. RIEMANN og A. EINSTEIN  -  Almen Relativitetsteori
Bemærk i øvrigt at lige inden Eksempel 1.22 og lige efter beviset, der bemærker forfatteren (E.H. Lohse) at man bør se, at der er en nær sammenhæng mellem definitionen af det såkaldte Riemann-integral og så kurvelængde.
Det er en indikation af det, jeg antydede for dig i aftes, at kurvelængde har en dybere sammenhæng med andre geometriske strukturer i matematikken!
B. Riemann var i øvrigt manden, der generaliserede Gauss’ ideer fra 1827 om differentialgeometri.
Den matematiske beskrivelse af krumme geometrier, som B. Riemann således udviklede i 1860'erne (riemannsk geometri), var den form for geometri, som Einstein anvendte i sin formulering af den ”almene relativitetsteori” fra 1915.



FLERE LINKS
Her er yderligere links til nok det allermest omfattende og udbyggede (virkelig flotte) sted på internettet om matematik:
http://mathworld.wolfram.com

…….og specifikt om

KURVELÆNGDER
http://mathworld.wolfram.com/ArcLength.html
Her kan du specielt se kurvelængde beskrevet i flere forskellige koordinater og parametriseringer og den  N Æ R E  sammenhæng der er mellem dem alle - hvilket trods alt jo klart må forventes i sagens natur.


Dette blev noget omfattende, men jeg håber at det gav dig input til at komme videre med kurvelængder.
Og så måtte jeg jo også svare specifikt med henblik på vektorfunktioner, som jo var dit konkrete spørgsmål.

God fornøjelse.

Mange tusind tak for svarene.

/jsc

Det var så lidt.......... :-)