Spørgsmål til Integralregning.

Hvis det ikke er for sent og du stadig har brug for hjælp, så skriv, så kigger jeg på dem

Hej igen.

Jeg har afleveret ovenstående opgaver, men jeg er løbet ind i noget der ligner. Dog er det ikke lige tidspunktet på døgnet, men hvis du har tid vil jeg meget gerne køre på nogen meget lignende spørgsmål i morgen.

Bare post dem her, så kigger jeg på dem :)

Super, et af stykkerne ser ud som følger:

Bestem det ubestemte integrale:

integral (x-1½)/sqrt(x^2 - 3x + 2) dx

Så sætter jeg f.eks. t = x^2 - 3x + 2

dt/dx = 2x - 3
dx = 1/(2x-3)

integral ((x-3/2)/sqrt(t)) * (1/(2x-3))

Men hvad så derfra?

Jeg kigger lige på den!

Jeg tager den lige fra starten af...jeg bruger t^(-½) for 1/sqrt[t]...

S[(x-1,5)*(x²-3x+2)^(-½)]dx, t = x²-3x+2 => dt/dx = 2x-3 <=> dx = 1/(2x-3)*dt...
(Det er nøjagtig det samme du har fået)...

S[(x-1,5)*t^(-½)*1/(2x-3)]dt Nu gør du det at du sætter 2 uden for parentes i 1/(2x-3) =
1/(2(x-1,5)) = (1/2)*(1/(x-1,5)), dvs. at integralet nu ser sådan ud...

S[(x-1,5)*t^(-½)*(1/2)*1/(x-1,5)]dt, nu kan du sætter konstanten (1/2) uden for parentes, og ligeledes ser du at (x-1,5) i tælleren går ud med (x-1,5) i tælleren, dvs.

(1/2)*S[t^(-½)]dx = (1/2)*t^(½)/½  = t^½ = (x²-3x+2)^½ + K, hvor K er en intrgrationskonstant

rettelse..."og ligeledes ser du at (x-1,5) i NÆVNEREN går ud med (x-1,5) i tælleren..."

Jeg kigger den lige igennem og ser om jeg fatter den. Er super glad for din hjælp. Mange tak.

Så har jeg skrevet det op og er helt med på hvad du gør - stort set. :)

Men her: (1/2)*S[t^(-½)]dx Skal det ikke være dt og ikke dx? Er langt fra sikker, spørger bare fordi jeg er nysgerrig. :)

Og så lige: Når du integrerer t^-½ får du så ½t^(½/½) som bliver t^½ ?

ad 1) Jo, for (1/2)*S[t^(-½)]dx, skal det være dt (min fejl :), dt betyder groft sagt "med hensyn til", det kommer altså an variablen, fx. S[f(x)]dx, intralet af f(x) med hensyn til x.

f(x)=x^a => F(x)=1/(a+1)*x^(a+1), i dit tilfælde...

glem de (1/2) der står uden for integralet, så har du t^(-½) og når den intgreres har du, 1/(½)*t^(½), det kan også skrives 2*t^(½), men skal der jo ganges konstanten (½), på: (½)*2t^(½) = t^(½)

Så er jeg med, mange tak. Jeg har nogle flere af samme slags, som jeg håber du vil hjælpe med. Hvis du springer over er det helt i orden, så sig til, så får du pointene. Men hvis du gider må du meget gerne se på den her:

S(x^3 + 6x)^9(x^2 + 2) dx

Fremgansmåden her er nøjagtig den samme!

S[(x³+6x)^9*(x²+2)]dx, t=x³+6x => dt/dx = 3x²+6 <=> dx=1/(3x²+6)*dt...

S[t^9*(x²+2)*1/(3x²+6)]dt, tror du kan klare den herfra, eller skal du have mere hjælp?

Jeg kigger den lige igennem, tak.

Jeg er med, ja, men hvorfor bliver jeg nu i tvivl om hvad jeg hiver ud for den parentes.. stinker seriøst til det.

Eller kan man bare sige at begge x^2'er går ud og så står der 2/(3+6)?

S[t^9*(x²+2)*1/(3x²+6)]dt, vi vil have den (x²+2)-parentes væk, det gøres ved at sætte 3 uden for parentes i (3x²+6)=3(x²+2), dvs...

S[t^9*(x²+2)*1/(3*(x²+2))]dt =
S[t^9*(x²+2)*(1/3)*(1/(x²+2))]dt du kan nu sætte (1/3) uden for integralet, og du ser, at (x²+2) i nævneren går ud med (x²+2) i tælleren...

(1/3)*S[(t^9)]dt = (1/3)*(1/10)*t^10 = (1/30)*t^10 + K = (1/30)*(x³+6x)^10 + K

Så er jeg helt med. Jeg bukker og takker og bukker igen. :) Har du en helt søndag sat af til at hjælpe hjælpeløse gymnasieelever? :)

Fuldstændig og aldeles!! ;), næste! :P

Hah, jamen jeg skal da bestemt ikke brokke mig. Jeg har også nogen andre som jeg virkelig fatter hat af, men jeg vil lige kigge dem igennem igen før jeg spørger videre, nu hvor jeg har fattet lidt mere af idéen bag det.

Okay, nu har jeg så med hjælp fra de opgaver du hjalp med prøvet at lave den her:

S(7x + 5)^6 og jeg har fået (1/49)(7x + 5)^7 + k

Er det rigtigt?

Jamen, nu kører det jo! ;)

Klasse. :) Så har jeg lige den her, og igen er problemet at flytte konstanter og trække ud foran paranteser:

S(4x^2 * (2x^3 + 5)^-4)
t = 2x^3+5
dx = 1/(6x^2)

S(4x^2 * t^-4 * 1/(6x^2)

Jeg kan godt se at jeg skal have x^2 væk på en eller anden måde, men hvad gør jeg helt præcist?

Du kan starte med at sætte 4, udenfor integralet...

S[4x^2 * t^-4 * 1/(6x^2)]dt = 4*S[x^2 * t^-4 * 1/(6x^2)]dt, du kan skrive 1/(6x^2) som

(1/6)*(1/(x²), og nu kan du også sætte (1/6) udenfor parentes, og x²'erne går ud med hinanden...

(1/6)*4*S[t^(-4)]dx = (2/3)*S[t^(-4)]dx, så ligger den lige til højrebenet! ;)

Kigger på det, mange tak.

Tror faktisk den ligger til venstre benet for mit vedkommende :P, men nu står der i hvert fald (-2/9)(2x^3 + 5)^-3 - right?

:) Indeed!! Har du flere?

Om jeg har flere? Jeg har en helt bog fyldt. :P Kunne være man skulle kontakte bogforlaget i stedet? :D

Jeg har kigget på den her:

S(x^2 * ln(x^3 + 6) dx

Jeg har fået

(1/3)*(x^3 + 6)*ln(x^3 + 6)-(x^3 + 6)

Hvis det er rigtigt, så vil jeg bare høre om man kan forkorte?

Hehe...så lad mig da spørge sådan - hvor mange flere opgaver skal du igennem? ;)

Du kan sætte (x^3+6) uden for parentes...

(1/3)*(x^3+6)*[ln(x^3+6)-1]

Iøvrigt, hvis det skal være helt korrekt, så skal der vist en 'numerisk-parentes' omkring x^3+6, i forbindelse med ln, altså: (1/3)*(x^3+6)*[ln|x^3+6|-1] + K

Ikke sikker på jeg er med? Hvad skete der med den sidste? Vupti væk og så blev det ^-1?

Jeg har fire stykker tilbage, men de minder meget om hinanden, og det er egentligt mest fordi det er trigonometriske funktioner der skal integreres.

F.eks:

S(1 + tan^2 x)/(tan x) dx

Det der forvirrer er, om (1 + tan^2 x) er det samme som (1 + (tan x))^2. Er ikke helt sikker på hvordan jeg skal gøre.

Og så den her:

S(cos^2 x)*(sin x) dx

Hvordan slipper jeg af med det x?

Og så er der to tilbage, hvor begge har konflikten med x som nævner. Regner med jeg kan den anden hvis du kan hjælp med den her:

S((2 * ln x)^6)/x dx

Bukker og takker.

I princippet er det bare denne simple regel du bruger for at sætte uden for parentes:

ab-ac = a(b-c), i dit tilfælde (se bort fra (1/3) hvis den forvirrer dig) , lad (x^3+6) svare til a i eksemplet. Kan du se det nu?

Jeg bliver lige nødt til at smutte et øjeblik, så forvivl ikke hvis svarene ikke kommer relativt prompte ;)

Nej, jeg er ikke helt sikker på jeg forstår forkortelsen, men den kan jeg evt. lige hive min lærer i kraven efter, for det er nok nemmere at tage på en tavle.

Derudover har jeg ikke længere travlt, du har jo næsten reddet min dag her. Skal bare have det sidste klar til i morgen tidlig.

Here we go again!!

A:

S[(1+tan(x)²)*tan(x)^(-1)]dx, t=tan(x) => dt/dx=1+tan(x)² <=> (1+tan(x)²)^(-1)dt=dx, dvs...

S[(1+t²)*t^(-1)*(1+t²)^(-1)]dt, det ses nu, at (1+t²) går ud med (1+t²)^(-1)...

S[t^(-1)]dt = ln|tan(x)| + K

B:

S[(cos(x)²*(sin x)]dx, t=cos(x) => dt/dx=-sin(x) <=> -sin(x)^(-1)dt=dx, dvs...

S[(t²*(sin x)*-sin(x)^(-1)]dt, det ses nu, at (sin x) går ud med sin(x)^(-1), den tilbageblevne konstant (-1) sættes uden for integralet, dvs...

-S[(t²]dt = -(1/3)*cos(x)³ + K

C:

S[(2*ln(x))^6*x^(-1)]dx, du starter med at sætte konstanten (2^6), udenfor integralet...

(2^6)*S[ln(x)^6*x^(-1)]dx, t=ln(x) => dt/dx=x^(-1) <=> dx=x*dt, dvs...

(2^6)*S[t^6*x^(-1)*x]dt, det ses nu, at x^(-1) går ud med x, dvs...

(2^6)*S[t^6]dt = (2^6/7)*ln|x|^7 + K

DONE ;)

Damn du er ond. :) Jeg går i gang med det samme.

Man kunne også sige i A'eren, nu jeg tænker over det...

S[(1+tan(x)²)*tan(x)^(-1)]dx t=tan(x) => dt/dx=1+tan(x)², og allerede her kunne man så indsætte...

S[(dt/dx)*t^(-1)]dx, så går dx'erne ud med hinanden...

S[dt*t^(-1)] = S[t^(-1)]dt...

Så kan du vælge hvad du har lyst til! ;P

Okay, jeg er igennem A nu, og jeg har nogenlunde styr på det, men generelt er jeg ekstremt dårlig til tangens. Kan du forklare mig hvorfor man kan lave de tricks med tan^2 x og tan(x)^2 og hvad der er hvad?

Derudover kan jeg ikke helt følge at S(1 + tan^2x)/tanx dx bliver S(1 + tan(x)^2 * tanx^-1 dx. Er tan^2x og tan(x)^2 det samme? Og hvordan kan du gøre det med at tage nævneren og bare sætte det i ^-1?

Ellers er jeg umiddelbart med på den. Går videre med B nu.

I B'eren.. hvilken tilbageblivne -1 konstant?

Ja, tan(x)^2 og tan^2(x), er nøjagtig det samme, nogen sætter potenstegnet lige efter tan andre gør det først efter (x). Jeg kan bedst li' det sådan her tan(x)^2. Det er det samme med fx. sin og cos, hvor cos^3(x), er det samme som cos(x)^3

Okay, det gør det noget nemmere at overskue når man lige ved den slags finurligheder. :)

Jeg skal ned og spise nu her, men er tilbage til arbejdet om 20-30 mins tid.

Det må være denne her der generer dig...

"S[(t²*(sin x)*-sin(x)^(-1)]dt, det ses nu, at (sin x) går ud med sin(x)^(-1), den tilbageblevne konstant (-1) sættes uden for integralet..."

Når (sin x) går ud med sin(x)^(-1), har vi...

S[(t²*-1]dt, det er denne (-1) der ryger ud foran

Men skal det forstås som, at når (sin x) ganges med sin(x)^(-1) så bliver der konstanten -1 tilbage?

Nope, det skal forstås sådan, at -a/a=-1 = -(a/a)=-1, det er det samme for:

S[(t²*(sin x)*-sin(x)^(-1)]dt det kan også skrives: S[(t²*sin(x)*1/-(sin(x)]dt =

sin(x) divideret med  -sin(x) = sin(x)/-sin(x)=-1

Så er jeg helt med, det er bare fordi jeg normalt skriver det på 1/(sin(x)) metoden og ikke sin(x)^-1, og så blev det hele forvirrende. Og det er selvfølgelig derfor der er -1, fordi man glemmer jo normalt bare at der står 1. :)

Jeg arbejder flittigt videre. :)

Men i C.. hvorfor er det ikke 2^6 * (1/7)?

Jamen, det er det da også, 2^6(*1/7) = (2^6/7)! Prøv at taste ind på din grafregner ;)

hov, jeg mener selvfølgelig: 2^6*(1/7) = (2^6/7)

Tud nu med at være bagklog... :D Okay, men bør jeg ikke hellere aflevere 64/7*ln|x|^7 + K

hehe :P

NEJ, det skal være med 2^6...!!!...Det styrer du helt selv, det kommer jo ud på et! ;)

Super, jeg tror jeg kører på brøken så. :)

Så er jeg i gang med den aller aller sidste opgave, og det er meget i stil med C. Det er:

S((x + 1)/x)^2... nu ville jeg jo så gøre som dig og sige S(x + 1)^2 * x^-1 , MEN hvad nu når x er i anden?

Vi skal lige ud i noget polynomiers division (PD) her til sidst.

S[((x + 1)/x)^2]dx = S[(x+1)²/x²)]dx = S[(x²+2x+1)/x²)]dx...her skal der så laves PD, på

(x²+2x+1)/x², når du har gjort det skal det gerne give 1+2*x^(-1)+x^(-2), dvs...

S[1+2*x^(-1)+x^(-2)]dx, fidusen ved at lave PD er, at du nu kan integrere ledvis...

S[1+2*x^(-1)+x^(-2)]dx = x+2*ln|x|-x^(-1)

Ups...og husk integrationskonstanten, så din lærer ikke flegner!! ;)

S[1+2*x^(-1)+x^(-2)]dx = x+2*ln|x|-x^(-1) + K

Jeg er slet ikke med på hvad der sker fra S[(x²+2x+1)/x²)]dx til -> 1+2*x^(-1)+x^(-2)

Når jeg en gang er det, hvorfor bliver 2 så ikke integreret i sidste udregning?

Det jeg skal i den her opgave er at vise at den funktion vi er ved at integrere er stamfunktion til g(x) = x - (1/x) + 2*ln(x) og det ser jo rigtigt nok ud, men nu har vi jo ln|x| og ikke 1/x?

Ved du hvad polynomiers division er?

Jeg må have haft det, men jeg må ærligt indrømme at jeg har meget svært ved at huske det.

hmmm...jeg kan desværre ikke lave udregninger her i dette forum, det kommer til at fucke fuldstændig op, bare skriv i din opgave, at du laver PD på (x²+2x+1) med x² og, at det giver 1+2*x^(-1)+x^(-2)

Okay, det gør jeg så. Jeg er lige ved at skrive det hele rent, og så tjekker jeg lige min bog igennem fra sidste år.

Okay, nu er jeg blevet snot forvirret her. Opgaven hedder:

"Funktionerne f og g er for x > 0 bestemt ved:

g(x) = x - (1/x) + 2*ln(x) og
f(x) = ((x + 1)/x)^2

Vis, at g er en stamfunktion til f. Bestem derefter S(f(x) dx og Sg(x) dx

Men når man gør det viser at g er stamfunktion til f, så laver man vel integration på f(x), ikke? Så har man vel allerede løst S(f(x)) dx? Og nej, ingen mindes at vi har lavet PD.

Ok. Det er meget rart lige at høre hele opgaven ;) Det vi har gjort er at bestemme S(f(x)dx. Vi har fået g(x), og på den måde har vi vist at g(x) er en stamfunktion til f(x). Dog vil man tradiotionelt, når man bliver bedt om at vise, at en given funktion er en stamfunktion til en anden funktion, differentiere stamfunktion. Dvs. din lærer vil sikkert gerne have at du differentierer g(x), og dermed gerne skulle ende op med f(x).

vi mangler også at bestemme Sg(x)dx

Tror jeg har misset noget her så... altså f(x) er det stamfunktionen eller hvad til f'(x) eller er det omvendt?

hehe vi har integreret f(x) og fået g(x). Normalvis bliver en stamfunktion til f(x) skrevet F(x). I dette tilfælde kan vi sige at S(f(x))dx = F(x) = g(x)

Og ligeledes f(x) = F'(x) = g'(x), dvs. at du kan differentiere g(x), hvilket gerne skulle give f(x). På den måde har du vist at g(x) er en stamfunktion til f(x)

Og det er det opgaven går ud på? Første del altså.

Men hvis jeg nu skal differentiere g(x), så får jeg 1 + (1/x^2), men hvad gør man med 2lnx? Bliver det 2*(1/x) aka 2/x eller hvordan?

Ved at diff. g(x) skal vi gerne nå frem til f(x)=((x + 1)/x)^2..lad os se...

g(x)=x - (1/x) + 2*ln(x) => g'(x)=1+(1/x²)+2*(1/x). Lav nu en fællesnævner med x²...

(x²/x²)+(1/x²)+(2x/x²) = (x+1+2x)/x² = (x+1)²/x² = ((x+1)/x)². Det stemmer!

Altså jeg er helt med på hvad du gør, men jeg er ikke sikker på jeg nogensinde selv ville have fundet på det. :P

hehe.. ;)

Når du skal udregne, S(f(x))dx, så glem PD, du kan selvfølgelig bare forkorte med x² i alle led (det opnår det samme)!

S[((x + 1)/x)^2]dx = S[(x+1)²/x²)]dx = S[(x²+2x+1)/x²)]dx...her forkorter du med x² i alle led...

(x²+2x+1)/x², når du har gjort det skal det gerne give 1+2*(1/x)+(1/x²), dvs...

S[1+2*(1/x)+(1/x²)]dx = x+2*ln|x|-(1/x) + K...hvad mangler så??

Jeg sad lige og skrev:

"Ved at diff. g(x) skal vi gerne nå frem til f(x)=((x + 1)/x)^2..lad os se...

g(x)=x - (1/x) + 2*ln(x) => g'(x)=1+(1/x²)+2*(1/x). Lav nu en fællesnævner med x²...

(x²/x²)+(1/x²)+(2x/x²) = (x+1+2x)/x² = (x+1)²/x² = ((x+1)/x)². Det stemmer!"

Det stykke ind, og der kom jeg til at se at (x+1+2x)/x² = (x+1)²/x² <- dette led forstår jeg ikke. For hvis du løser (x + 1)^2 op får man da x^2 + 1 + 2x og ikke (x + 1 + 2x)?

Kigger på det andet nu.

yes, der mangler jo lige et lille ²...(x+1+2x)/x² = (x²+1+2x)/x² :)

Hvad der mangler? dx er ikke blevet integreret, men er det nødvendigt?

Hvis du vil er der en vejledningtil integration af f(x), her: Kommentar: _luigi_
04/09-2005 21:22:20

Var det så hele opgaven eller er der mere??

"Hvis du vil er der en vejledningtil integration af f(x), her: Kommentar: _luigi_
04/09-2005 21:22:20" <- hvordan skal det forstås?

Umiddelbart tror jeg ikke der er mere, hvis g(x) og f(x) er blevet integreret helt færdigt. Er x+2*ln|x|-(1/x) + K svaret på f(x) og fik vi integreret g(x)? Kan ikke længere finde rundt.

Nej, det kan jeg heller ikke :/
hmmm....tror dælme vi mangler at integrere g(x) :S..

Damn, man skulle tro det var løgn...

Er det noget i stil med ½x^2 - ln|x| + x * 2 * ln(x) - x

Går de to x'er ud?

Ok..sidste og afgørende!! ;)

S[x - (1/x) + 2*ln(x)]dx =

(1/2)x²-ln|x|+2*(x*ln|x|-x) = (1/2)x²-ln|x|+2x*ln|x|-2x) + K, FIN! :D

Hvis du vil, kan du sætte lidt udenfor parentes...

(1/2)x²-2x+ln|x|*(2x-1) + K

WUUUHAAAAA :P

(1/2)x²-ln|x|+2x*ln|x|-2x) <- jeg er med hertil, og jeg er godt klar over jeg glemte at der var en parentes og derfor kun fik -x, men hvorfor bliver det ikke 2*ln|x| når man ganger ind i parantesen?

Jeg er overhovet ik med på hvad du mener?? :D

"(1/2)x²-ln|x|+2*(x*ln|x|-x) = (1/2)x²-ln|x|+2x*ln|x|-2x) + K, FIN! :D"

der står da 2*ln|x|*x

2*(ab-c) = 2ab-2c forestil dig x er a, og ln|x| er b, c kunne så være x, kan du se det for dig nu??

Det er bare mig som sumper rundt i det, jeg er med. :) Fuck det har været den sygeste blækregning jeg nogensinde har lavet. Højniveau? Indeed...

Jeg kan ikke rigtigt takke dig nok, de her point virker ikke rigtigt tilstrækkeligt for en dags arbejde, så hvis der er andet så må du sige til. :P.. ikke at jeg lige ved hvad det skulle være. :)

Men mange tak for din uvurderlige hjælp i dag.

hehe..det er bare iorden du!! :)

Selvom det dælme var en hård omgang..!!

Jeg tillader mig at smide et svar!! ;)

Se hvor træt jeg er :S...svar kommer her!! ;)

Super, og så har du fået dine point dér. :) Nu er jeg godt nok også smadret, tror den står på en DVD film. :) Mange tak, endnu en gang og godnat.

Hej igen Luigi.

Jeg er så fræk at linke dig til den her:

http://www.eksperten.dk/spm/646894

Det er meget lidt, så håber du har overskud. :)