Areal under graf og rumfang.

Jeg får...

F(x)=pi*S[(2x^(3/2)+1)²]dx = pi*S[4x³+4x^(3/2)+1]dx = pi*(x^4+(8/5)*x^(5/2)+x). (integrationskonstanten udelades da der her er tale om et bestemt integrale)

Nu indsættes grænserne og volumenen udregnes...

V=F(4)-F(1)=pi*[4^4+(8/5)*4^(5/2)+4-(1^4+(8/5)*1^(5/2)+1)]=1538pi/5=966,354

F(x)=pi*S[(2x^(3/2)+1)²]dx = pi*S[4x³+4x^(3/2)+1]dx

Det skridt der.. kan du ikke forklare det skridt efter skridt? Ved ikke hvorfor jeg ikke kan gennemskue hvordan du får det.

Jo, altså du bruger sætningen: (a+b)²=a²+b²+2ab, hvis vi så siger, at a = 2x^(3/2), b =  1, så bliver a²=[2x^(3/2)]² = 2²*x^(3/2)^2 = 4x^(3/2)^2

Her skal du så have fat i den potensregneregel, der siger, at x^y^z = x^(yz), øverført på 4x^(3/2)^2 bliver det 4x^(3/2*2)=4x^(3), 2ab er selvfølgelig blot 2*2x^(3/2)=4x^(3/2)

Gir det mening nu? :)

Ja, det første giver fin mening, mange tak. Har du mod/lyst til at hjælpe med noget mere? Jeg ville sætte enorm pris på det.

Du kan jo altid skrive det her - så skal jeg se om jeg kan finde ud af det, og ellers kan det jo være andre kan! :)

Hvornår er det for til? Er pænt smadret i aften, så bliver nok snart nødt til at gå til køjs!

Det er først til torsdag, så har ikke super travlt.

Det er fortsat på samme opgave, hvor der står:

"Det oplyses, at længden af grafen for f fra et punkt P(a, f(a)) til et punkt Q(b,f(b)) er givet ved:

S(sqrt(1+(f'(x))^2)dx med grænserne a til b.

Bestem længden af grafen for f fra P(1,f(1)) til Q(4,f(4))."

Er det noget med at differentiere f, så man får f'(x), og så bruge det?

Jah, lige præcis!

f(x)=2x^(3/2) + 1 => f'(x)=3*sqrt(x), indsæt i formlen...

F(x)=[sqrt{1+(3*sqrt(x))²}]dx = [sqrt{1+9x}]dx, dette integral kan løses vha. substitution (sæt t=1+9x)...

F(x)=(2/27)*(1+9x)^(3/2)...indsæt grænserne...

l=F(4)-F(1) = (2/27)*(1+9*4)^(3/2)-[(2/27)*(1+9*1)^(3/2)] = 14,3288 (l betegner buelængden)

...der skal da lige nogle integraltegn på...

...F(x)=S[sqrt{1+(3*sqrt(x))²}]dx = S[sqrt{1+9x}]dx, dette integral kan løses vha. substitution (sæt t=1+9x)...

:)

Jeg er også på vej i seng nu, men kigger det hele igennem så snart jeg får chancen i morgen. Mange tak.

Det er super, jeg er helt med, jeg var bare i tvivl om min fremgangsmåde var korrekt, men det ser jo perfekt ud.

Jeg har en til, hvis du er på. Ellers dropper du bare et svar og så får du dine point. :)

Here we go again:

"En funktion f er løsning til diffligningen:

dy/dx = (sqrt(y)) / (x^2 + 2x + 3)

og grafen for f går gennem punktet P(1,9).

Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P."

Så jeg skal bruge f'(x), ikke? Og punktet, så jeg kan finde tangenten, men hvordan får jeg f'(x)? Jeg ved at dy/dx = f'(x), men jeg skal jo have y isoleret. Skal jeg så isolere y, og så differentiere den?

hey igen!

Det er såmand bare at sætte det givne punkt ind i diff.ligningen, hvorved du finder hældningen for tangenten i punktet P(1,9), altså...

dy/dx=f'(x)=sqrt(9)/(1²+2*1+3) = 3/6 = 1/2. nu kender du hældningen og skal bare have fat i ligningen for tangenten, y-f(x0) = f'(x0)(x-x0), du har netop beregnet f'(x0)=1/2,og (x0,f(x0)) svarer jo til P(1,9), så det er bare at indsætte...

y-(9) = (1/2)*(x-(1)) <=> y = (1/2)x-1/2+18/2 = (1/2)x+17/2

Ah, haha, var kommet ud i alt muligt mærkeligt med diffligninger, men man skal selvfølgelig bare løse opgaven som der står. Nu hvor jeg tænker mig om, er det jo også mega åndsvagt, da det var en af de første opgaver, som næppe var så svære.

Lækkert du fik tjek på det!

Jeg tillader mig lige at smide et svar! :D

Værsgo, og mange tak for hjælpen. Må jeg tjekke op med lidt mere, muligvis i morgen?

Du kan bare skrive, så skal jeg nok kigge på det hvis jeg har tid! :)

Super, jeg har den her:

"I vandledningsnettet vil en væsentlig del af den samlede biomasse bestå af bakterier, der sidder på rørvæggene. I en model antages det, at antallet B af bakterier pr. cm^2 som funktion af tiden t (døgn) er løsning til diffligningen:

dB/dt = 1,2 * 10^-8 * B * (2,6 * 10^6 - B)

Det oplyses endvidere, at antallet af bakterier pr. cm^2 til tiden t = 0 er 9*10^4.

Med hvilken hastighed vokser B på det tidspunkt, hvor antallet af bakterier pr. cm^2 er 5*10^5?"

Det er den sværeste opgave, og jeg aner virkelig ikke hvordan jeg skal gribe den an.

hehe...syntes nok den opg. så bekendt ud!! :D

Se om du ikke kan finde lidt "inspiration" her: http://www.eksperten.dk/spm/603025

;)

Hah, det var seriøst synd for mig det der. Afleverede i torsdags. Nå, nevermind, men mange tak ellers.

Har du tid til at se på den her?

"Gør rede for, at funktionen:

F(x) = (x^2 - x)*ln(x)+x

er stamfunktion til funktionen:

f(x) = 2x * ln(x)-ln(x) + x"

Hvis jeg differentierer F(x) får jeg noget med:

F'(x) = 2x-1*ln(x)+(x^2-x)*(1/x)+x
      = 2x-ln(x)+x

Men det går ikke op... hvad gør jeg galt?

Se'følig'! ;)

F(x)=(x²-x)*ln(x)+x, jeg diff. (x²-x)*ln(x), som et produkt, dvs. (x²-x)'*ln(x)+(x²-x)*ln(x)', dvs.

F'(x)=(2x-1)*ln(x)+(x²-x)*1/x+1
=
(2x-1)*ln(x)+x-1+1
<=>
F'(x)=(2x-1)*ln(x)+x, hvis du ganger ln(x) ind i parentesen, så har du vist hvad du skulle vise :)

Super, mange tak. Fik faktisk selv styr på den i skolen i dag, men lækkert at se at det var korrekt. :)

Jeg har en, hvor jeg skal bestemme en forskrift og def. mængden for:

dy/dx = (2sqrt(y))/(x+2)

Jeg kommer til noget med ½S(y^-½) dy = ½S((1/x) dx , men hvad derfra?

Hvis du ikke er på mere, så er det helt i orden, så lader du bare være.

På forhånd tak.

Jeg er selv kommet lidt videre... til 4 = (3/2).rod(ln(1)) + k, så k = 4. Kan det ikke passe?

dy/dx = 2sqrt(y)/(x+2)

y^(-1/2) dy = 2/(x+2) dx

S[y^(-1/2)]dy = 2*S[1/(x+2)]dx

2y^(1/2) = 2*ln(x+2)+K

y = ±sqrt(ln(x+2)+K), herfra kan jeg ikke komme det vidre, har du et evt. punkt på grafen for y? :)

Gah, jeg har lamet en bummert. Den hedder dy/dx = 2sqrt(y)/(1/(x+2))

Kan det så ikke passe? Den går igennem P(-1, 4)

Nåh, men så vi tager vi den da bare en gang til! ;)

dy/dx = 2sqrt(y)/(1/(x+2))

y^(-1/2) dy = 2*(x+2) dx

S[y^(-1/2)]dy = 2*S[x+2]dx

y^(1/2) = x²/2+2x+K, da er K

(4)^(1/2) = (-1)²/2+2*(-1)+K

K = 2+2-(1/2) = 7/2

y = sqrt(x²/2+2x+7/2)

Ej, men ffs da.. hvad sker der. Hvis du siger stop nu, så forstår jeg dig udmærket. Altså... den hedder

dy/dx = (2sqrt(y))/(x+2)

PRÆCIS som du skrev første gang. Jeg gik bare i gang med at blande mine noter ind i det. Men nu har jeg regnet på y = ±sqrt(ln(x+2)+K), og med det punkt, så bliver k jo også 4, så er mine udregninger ikke rigtige nok?

Og igen, undskyld for min komplette stupiditet.

haha :D
-Jah, det er jo også ved at være lidt småsent... ;)

Jo, K = 4, lyder fint!

Tak for forståelsen. :) Ja, har også lige færdiggjort min danskstil, som ikke kommer så godt overens med vores skønne kanon og danske analyser. :)

Men passer det med mine udregninger? Mine er jo lidt anderledes?

Jeg vil i hvert fald smutte i seng nu. Skal først aflevere fredag, så har lidt tid til at arbejde det færdigt i morgen. Mangler bare lidt vektor regning, og så at få den her på plads, og så skulle alt være i orden.

Mange tak for hjælpen.

Du bliver nok nødt til at skrive alle dine mellemregninger, hvis jeg skal tjekke, at fremgangsmåden er korrekt, synes ikke det fremstår knivskarpt udfra dine tidligere indlæg, og er pænt træt im kopf så kan ikke gennemskue det helt vilde!! :D

Men ellers så står det jo så fint i Kommentar: _luigi_
08/02-2006 22:19:04 :P

Hej igen.

Okay, mine mellemregninger er:

dy/dx = (2sqrt(y))/(x+2)

S(1/(2sqrt(y)) dy = S(1/(x+2)) dx

½S(y^-½) dy = S(1/(x+2) dx

y^(3/2) = ln(x+2)+k

y = (3/2).rod(ln(x+2)) + k

Hertil er det korrekt:

½S(y^-½) dy = S(1/(x+2) dx, du integrerer rigtigt mht. x, altså højresiden, men når der integreres mht. y, går det galt.


½S[y^-½]dy = S[1/(x+2)]dx

y^(1/2) = ln(x+2)+k

y=sqrt(ln(x+2)+k),  når du integrerer mht. y, så husk regelen..

f(x)=x^n => F(x)=x^(n+1)/(n+1)

Hvad er så y^(-1/2) integreret??

:)

Hvad er det for en regel? Altså F(x)=x^(n+1)/(n+1)?

Og mener du ikke y^(-1/2) = ln(x+2)+k og ikke y^(1/2) = ln(x+2)+k?

Og der står jo ½S(y^-½) dy og ikke S(y^-½) dy?

LOL...Du var ikke den eneste der lavede en megabrøler igår
Har lige siddet og læst indlæggene igennem :S
Men en ting af gangen.

Kan du ikke lige være så venlig at integrere y^(-1/2)?? (du får det til at blive 3/2 i potensen, det er en fejl) ;)

Når vi har y^(1/2) = x²/2+2x+K, da er y selvfølgelig:

y = (x²/2+2x+K)² og IKKE y = sqrt(x²/2+2x+K)

Ah ja, det er 2y^½, ikke?

Men højresiden var da ln(x+2)+k og ikke (x²/2+2x+K)²?

haha, jeg kegler rundt!! yessir 2y^(1/2)/2 = y^(1/2)

..og så kom jeg da lige til at 'copy-paste' fra det forkerte indlæg, det RIGTIGE er!! :D

y = (ln(x+2)+K)²

Og jeg skylder vist at sige at de 2y^(1/2)/2 selvfølgelig kommer fra den (1/2) der skal ganges på på (1/2)*2y^(1/2) = y^(1/2), sådan, så skulle det være iorden! ;)

Jeg skal flytte min com nu her til et LAN, men jeg kigger på det så snart jeg kommer online igen. Mange tak.

Jeg er nok ikke mere ved puteren idag, skal lige straks over til en kammersjuk og se fussball! :P

Håber du fik tjek på det!!

Så er jeg her igen luigi. :P

Har du mulighed/lyst til at hjælpe med et par vektor og diffligninger?

For at smide noget konkret, så har jeg:

f(x) = (1/(2sqrt(x))) * ln(x) , x > 0

Skal bestemme bestemt integrale fra 0 til e... har prøvet at sætte både 2*sqrt(x) = t og t = ln(x), men kommer ikke nogen vegne. Kan du hjælpe mig på vej?

Brug partiel integration, S[f(x)g(x),a,b]dx, hvor f(x)=x^(-1/2), g(x)=ln(x), a hhv. b, er nedre og øvre grænse. Husk, at du kan starte med at sætte (1/2) uden for integralet, dvs. du skal løse:

(1/2)*S[x^(-1/2)*ln(x),0,e]dx :)

Formlen for partiel integration, når grænserne er givet, kan du finde i din mat-bog!
Jeg får det til -e^(1/2) ;)

Det var tricket med at trække den halve ud foran der gjorde det.

Men kan det passe med:

½*[2x^½ * ln(x) - (4/3)x^(3/2) * ln|x|] med grænserne 0 til e?

Virker lidt som om jeg gør det sværere for mig selv end det bør være? Man kan jo heller ikke tage ln(0)?

Det første led er rigtig bestemt, med F(x)=2x^(½) og g(x)=ln(x), men det andet led er galt. Husk at formlen for partiel integration er givet ved:

S[f(x)g(x)]dx = F(x)g(x)-S[F(x)g'(x)]dx, du har således ikke bestemt S[F(x)g'(x)]dx korrekt. hvad er g'(x)? ;)

g'(x) = 1/x, ikke? Men det skal så integreres igen bagefter, ikke? Så det bliver ln|x|?

Det rigtigt, at ln(0) ikke er defineret, men rent praktisk betyder det ingenting for arealet af integralet. forestil, du istedet skulle tage integralet fra 10^(-10),(her er ln(10^-10)) defineret, til e. Prøv at regne med disse værdier istedet. Generelt kan du sige, at:

(½)*S[x^(-½)*ln(x),x,e]dx -> -e^(½) for x -> mod 0. (sådan ville jeg argumentere for det, men du må gerne spørge din matlærer hvorn man helt præcist skal gribe det an, og skrive tilbage hvad han siger :)

Prøv også at tænke på det rent grafisk(tegn grafen på din grafregner), ville gøre arealet mærkbart mindre, at udregne det bestemte integrale fra en meget, meget lille x-værdi og til e?

ang. g'(x)=1/x, er det helt korrekt. Dvs. du har:

S[F(x)g'(x)]dx = S[2x^(½)*1/x]dx = 2*S[x^(½)*1/x]dx = 2*S[x^(-½)]dx (tjek din potensregneregler :)

Okay, men det er jo bare en omskrivning. Hvorfor er mit ikke korrekt?

Ah, det er vel fordi det er to funktioner ganget sammen igen...?

Kan det passe den hedder:

½[2x^½ * ln(x) - 4x^½] ?

Det du siger er, at:

2*S[x^(½)*1/x]dx = 2*(2/3)*x^(3/2)*ln(x) = (4/3)*x^(3/2)*ln(x), men det er jo ikke sandt. I princippet er 2*S[x^(½)*1/x]dx et integrale der består at produktet af funktioner, for at løse dette skal du så lave partiel integration en gang til, men skal du være velkommen til at give dig i kast med ;)

Kan oplyse at: 2*S[x^(½)*1/x]dx = 4x^(½), hvis du da har lyst til lat gå den omvej! ;)

Fantastisk! Lige præcis! ;D

Genialt. :) Men hvad gør jeg med ln(0)? Skal jeg bare antage at hele parantesen er 0 så resultatet som du tidligere sagde er -e^½?

Og så skal jeg bestemme rumfanget? Er det så noget med:

pi*½S((½/sqrt(x)) * ln(x))^2 dx?

Jeg ville gøre som følger, vi har udregnet integralet til:

x^(½)*ln(x)-2x^(½) og mangler nu blot at indsætte grænserne.

[x^(½)*ln(x)-2x^(½)],0,e, hvor 0 er nedre- og e er øvre grænse. starter med at indsætte e.

A1=[e^(½)*ln(e)-2e^(½)]=-e^(½), og når jeg så skal indsætte den nedre grænse så ville jeg simpelthen skrive:

Det ses, at for x^(½)*ln(x)-2x^(½) da går e^(½)*ln(e)-2e^(½) mod 0, for x->0, dvs A2=0, dermed er det søgte areal A=A1+A2 = 0 -e^(½) = -e^(½) :P

og den næstsidste linie skulle lige være..

Det ses, at for x^(½)*ln(x)-2x^(½) da går x^(½)*ln(x)-2x^(½)....

Jeg bliver nødt til at løbe et en time eller to. Jeg er tilbage så snart jeg kan, men skal først aflevere torsdag, så er heldigvis ude i god tid. Jeg sætter uendeligt (og det må du vide hvor meget er :)) pris på din hjælp.

Ah ja, selvfølgelig. Vi får jo også oplyst i starten af x > 0.

Har du nogen forslag til rumfanget?

Ok. Jeg har lige tænkt lidt over den første opgave, med arealet, og det giver go mening når man ser på følgende to definitioner: (d1):ln(x)->-infty for x->0, og (d2):0*±infty = 0, hvor infty betegner uendelighed, (det liggende ottetal). Som du kan se giver det go mening hvis vi bruger de to def. på:

x^(½)*ln(x)-2x^(½), for den nedre grænse altså x->0, da bliver x^(½)->0, ln(x)->-infty(d1), og -2x^(½)->0. Dvs. der står:

0*-infty, og ved brug af d2, fås at hele udtrykket -> 0! Den forklaring kan din matlærer ikke andet end æde råt!! ;P

I forbindelse med areal-opgaven så kan du evt. også vælge at dele integralet op 2 dele, det virker måske mere logisk hvis du ser på grafen. Så kunne du udregne arealet fra 0 til 1, bruge de d1 og d2 og derefter lægge arealet fra 1 til e til, det giver nøjagtig det samme - så har du lidt at vælge imellem! :D

Jeg kigger lige på det med volumen, 2 sek!

Volumen er givet ved:

V=pi*S[f(x)²,a,b]dx, hvor f(x)=½*x^(-½)*ln(x), a=0, b=e, dvs.

V=pi*S[(½*x^(-½)*ln(x))²]dx = pi*S[(1/4)*x^(-1)*ln²(x)]dx =

(1/4)*pi*S[x^(-1)*ln²(x)]dx, sæt ln(x) = t => dt/dx=1/x <=> dx = xdt, dvs.

(1/4)*pi*S[x^(-1)*t²*x]dt = (1/4)*pi*S[t²]dt =

(1/4)*pi*(1/3)*t³ = (1/12)*pi*ln³(x), nu skal grænser så indsættes, starter med øvre grænse = e, dvs.

V1 = (1/12)*pi*ln³(e) = pi/12, nu udregnes nedre grænse, x=0, jeg gør brug af (d1).

V2 = (1/12)*pi*ln³(0), ved brug af (d1) fås V2 = pi/12*-infty. Og dermed er det totale volumen...tadaa..!!

V = V1-V2 = pi/12 - (pi/12-infty) = infty :D

Uden at have regnet det igennem, er det endelige resultat så uendeligt?

Mellemresultatet "pi*S[(1/4)*x^(-1)*ln²(x)]dx" i 2. linje:

Hvordan bliver (½*x^(-½)) til (1/4)*x^(-1)?

Ja, det skulle jeg mene :)

prøv at tegne grafen for f på din grafregner. Du kan se den har lodret asymptote i x = 0, dvs. at grafen aldrig skærer y-aksen, og dermed når grafen drejes 360 grader omkring x-aksen, i intervallet fra 0 til e, så vil det volumen være uendelig stort.

Jeg er pænt sikker, men prøv at høre din lærer ad! :P

Eller måske rettere, så går volumen mod uendelig, når den øvre grænse er e og den nedre grænse går mod 0.

Husk at det skal opløftes i "2". Dvs.

(½*x^(-½)*ln(x))² = (½)²*x^(-½)²*ln²(x) = (1/4)*x^(-1)*ln²(x)

Ja, men siden hvornår er -½^2 blevet til -1?

Hvis det er helt rigtigt burde jeg faktisk skrive (x^(-½))², så kan du bruge regelen der siger (x^y)^z = x^(yz), overført på (x^(-½))², bliver det således:

(x^(-½))²=x^(-½*2)=x^(-1). Du kan også vælge at se det således:

x^(-½) = 1/sqrt(x) <=> (x^(-½))² = (1/sqrt(x))²= x^(-½*2)=1²/sqrt(x)² <=>

x^(-1)=1/x

Super, og jeg antager at (1/4)*pi*S[x^(-1)*t²*x]dt

x^-1 * x = 0 fordi der står x^(1+(-1)) ?

x^-1 * x = 1 må det vel hedde.

Helt rigtigt! :)

Okay, jeg er helt med på mellemregningerne, men må lige høre min lærer på tirsdag angående facit.

Lige en anden ting. Den her:

dN/dt = 0,00048 * N (2500 - N)

N(0) = 10

Skal bestemme en forskrift for N.

Skal det bare løses som en diff?