En matematisk model

Hvilken værdi ændrer sig uafhængigt, hvilken værdi ændrer sig afhængigt ...

I ovenstående vil timer jo ændre sig uanset theophyllin-koncentrationen ...

-- og et hurtigt kig på tallene viser, at koncentrationen 2 timer efter en tidligere registrering er i størrelsesordenen 2/3 eller kvadratroden af 1/2 af den tidligere måling, hvilken indikerer en logaritmisk udvikling, så prøv f.eks. at indføre tallene på et enkeltlogaritmisk koordinatsystem ...

-- hvor du så også kan aflæse de andre svar !-)

Okay....

Find en passende model for, hvorledes y afhænger af x
Hvordan er det at det gøres?

Når du har afsat punkterne på det enkeltlogaritmiske papir, skulle de meget gerne ses at  ligge nogenlunde på en ret linie. Du skal nu indtegne denne rette linie bedst muligt således, at punkterne fordeler sig ligeligt omkring den.

Når du har indtegnet den, så vælger du to "pæne" punkter på linien, dvs. punkter der er relativt nemme at aflæse, dem skal du bruge til at lave din model.

Modellen følger forskriften for en eksponentiel aftagende udvikling, dvs.
f(t)=b*a^t, hvor b>0, 0<a<1, og 2<=t<=15 hvor t angiver antallet af timer efter indsprøjtning, og f(t) koncentrationen af theophyllin til et givent tidspunkt.

Når du har valgt dine to punkter fra den tegnede linie, så opstiller du to ligninger med 2 ubekendte, hvorved du kan bestemme a og b i f(t)=b*a^t. Herefter kan du ved beregning udfra din model svare på spg. 3 og spg.4. :)

ad 1)
Tiden er naturligvis uafhængig - den går videre uanset om patienten får theophyllin eller ej. Derimod afhænger koncentrationen af theophyllin jo af tiden. Derfor er koncentrationen den afhængige variabel, og tiden den uafhængige - koncentrationen afhænger af tiden!




ad 2)
roenving argumenterer for en loagritmisk funktion. Jeg vil nu argumenterer for, at der også kunne være tale om f.eks. en parabel. Der er kun 5 punkter at lave reggresion ud fra, og det er ikke meget til at finde en tendens, så det kan give mange løsninger (efter min mening).

Antager du det er en parabel, får du:

Y=f(x) = 0,05x^2 -1,358x + 10,61 - den passer ret fint på måledataene

Men følgende funktioner passer også ret godt (konstanter kun ca-værdier):

y=f(x) = 11.53 * e^(-0,168x)
y=f(x) = -3.772 * Ln(x) + 10.92

Men en af ovenstående 3 typer ville være et godt bud - jeg ville prøve at indsætte x-værdierne (tiden) og se hvilken funktion der giver de y-værdier der passer bedst. Det kunne du jo godt gøre i din opgavebesvarelse - antage først parabel, derefter logaritmisk, finde funktionens konstanter ved at indsætte de kendte værdier, og se hvilken der giver bedst resultat.



ad 3)
Når du har valgt en funktion der passer, er det jo bare at sætte tiden = x = 15 timer og se hvilken koncentration det giver



ad 4) Som 3), sæt koncentratioen = y = 3,6 og se hvilken tid=x det giver.

Er det folkeskolen?
Mon ikke det er meningen I skal læge om det smarte i enkeltlogaritmisk papir - det vil jeg tro. Gæt du på logaritmisk udvikling

Det er en alm. første ordens kinetik, og det ses også ved plot af ln(C/Co) mod tid. Det giver en ret linie.

C er konc til tiden t, og Co er konc. til tiden nul. Da den åbenbart ikke er opgivet kan den udelades. Men man kan også finde den ved at afbilde konc mod tid og ekstrapolere til t=0, og her får jeg en Co=11,5 mg/liter.

Hældningskoeff. er lig med hastighedskonstanten (k).

Det integreret  hastighedsudtryk er givet som:

ln(C/Co) = -k*t

Eftersom det ikke giver en helt ret linie på et enkeltlogaritmisk papir, og eftersom de 5 (tid,koncentration) også passer rimeligt på en parabel, kan jeg ikke se, hvordan I kan være SIKKER på at det er en logaritmisk funktion.

Med mindre I har anden viden der ligger ud over det rent matematiske, f.eks. en eller anden medicinsk eller fysisk lov, der siger at koncentrationen ikke følger fx. en parabel (der jo har et toppunkt - vil det så sige, at på et tidspunkt begynder koncentrationen at stige? (he he))

Min poiente: Med kun 5 punkter, der IKKE likker EKSAKT på en ret linie i et enkeltlogaritmisk papir, kan også findes andre funktioner end den logaritmiske, der tilnærmer punkterne lige så godt.

Jeg fik en ret linie ved afbildning af ln(C/Co) mod tid. Jeg ved fra mit kendskab til kinetik i sådanne systemer at de som regel forløber efter en første ordens kinetik. Der findes nogle simple matematiske udtryk der beskriver dette. Så taster man sine data ind og ser om det så følger første ordens kinetik.

Hvis ikke, så prøver man istedet 2 ordens kinetik som har et andet matematisk udtryk.

Der lukkes, smider i ikke nogle svar i har jo forsøgt :-)

Men fortæl mig lige hvordan finder jeg x?:

y = 11.53*0.856^x

Det er fordi jeg kender y og kender jo b og a men skal finde x? altså hvornår det er at y bliver til det hvilken tid!

se side 4 her:

http://us.uvm.dk/gymnasie/erhverv/eksamen/Vejledninger/uvmformelsamlingmatappendiks.pdf