3 cirkler i bestemt formation (2 kendte, én "næsten" ukendt)
Hi alle med hang til puzzles,
jeg skal have tegnet 3 cirkler, og de skal danne en ganske bestemt formation. Jeg kender koordinater og radius for de to "nederste" cirkler (cirkel 1 og 2). "Ovenpå" disse to cirkler skal "hvile" endnu en cirkel med bestemt radius (cirkel 3). Cirkel 3 skal akkurat tangere cirkel 1 og to på deres respektive toppe.
Jeg har følgende data for cirklerne:
Circle 1: (187.1, 107.2) r = 12 Circle 2: (203.5, 99) r = 15 Circle 3: ( ? , ? ) r = 5
Er der en løsning på den grå-hårs-puzzle? Help me Obi-Wan...
Eftersom den lige præcist skal tangere, vil jeg mene at startpunktet skal være det skæringspunkt de to andre cirkler ville have hvis deres radius var 5 større.
Jeg kan ikke lige finde de formler jeg normalt bruger til at regne med den slags ting, så et svar kan jeg ikke lige give dig - men nu har du i det mindste noget at gå efter :)
Længderne d og f, findes ved at trække henholdsvis x- og y-værdierne af de to kendte cirklers centrummer, fra hinanden. Med pythagoras findes længden b/e. Dette giver en trekant ABC, hvor vi kender aller siderne (de to andre sider er radius af cirkel 1 + radius af cirkel3, og radius af cirkel 2 + radius af cirkel 3). For at finde vinkel A, bruges cosinusrelationen (http://da.wikipedia.org/wiki/Cosinusrelation). Vinkel F findes eksempelvis med tan^-1(f/d). Så ender vi med en retvinklet trekant, hvor vi kender vinklen FA, og længden c. Med samme metode som forrige beregning, findes længden af de to grønne linjer. Cirkel 3's x-værdi må være cirkel 2's x-værdi minus den grønne, vandrette streg. Cirkel 3's y-værdi må være cirkel 2's y-værdi plus den grønne, lodrette streg.
Pidgeot: Dit resultat er kun "forkert" i den forstand at du har beregnet koordinaterne for cirkel 3's skæring i BUNDEN af de to øvrige cirkler. Dejlige præcise koordinater, dog. Hvilken metode har du brugt?
Terrak: Kan du præcisere koordinaterne ud på 6 decimalers nøjagtighed?
Terrak: Imponerende reaktionstid! Tak for det meget hurtige og meget præcise svar. (Mine opgivne koordinater var 100% præcise). Jeg kvitterer omgående med 60 points!
Tak for en inspirerende og flot illustreret gennemgang, hvor du, Terrak, når den 3. cirkels center ved at opløse de geometriske figurer i trekanter.
Det kunne fortsat være spændende at høre Pidgeot's metode, såfremt Pidgeot har nået samme resultat ved brug af en anden metode.
May the force be with you guys. Opgaven er løst.
Skal alle knuder løsnes må vi høre Pidgeot's metode. Jeg må erklære mig godt og grundigt nysgerrig :)
Ja, jeg prøvede igen lidt derefter ved at omskrive det til en ligning og finde en løsning på den.
En (halv) cirkel kan nemlig beskrives som en graf, Y=sqrt(R^2-(X-A)^2)+B, hvor A er startpunktet for X, og B er startpunktet for Y. Hvis min teori holder stik, burde vi derfor kunne plotte de to funktioner og beregne skæringspunktet for dem.
Da jeg ikke lige havde nogen grafregner ved hånden, måtte det så ske ved at jeg selv omskrev det, hvilket gav et mindre problem - da jeg mente at have fået den omskrevet til en andengradsligning, gav den en negativ diskriminant da jeg forsøgte at løse denne. Lige hvor fejlen var, kunne jeg ikke se - men klokken var så også henad 3, og jeg var nødt til at få noget søvn inden jeg skulle til eksamen her i dag.
Nu *har* jeg dog en grafregner til rådighed (TI-83+), så jeg prøvede lige at skrive det ind der i stedet:
Terrak: Måske skylder vi Pidgeot en stående applaus? Jeg synes jeg når samme Y-værdi som Pidgeot når jeg kører dit eksempel igennem. Og hans metode er unægtelig en nydelig reduktion.
Pidgeot: Skarpt ræsonnement. Flot metode. Og perfekt resultat.
Mit ydmyge bidrag til denne lille puzzle vil slutteligt være de koordinater jeg selv nåede ved en gennemgang af Terraks glimrende eksempel:
Skæringspunkterne findes ved at indsætte ovenstående linies ligning i ligningen for en af cirklerne (jeg har valgt cirkel 1). Udtrykket reducéres samtidig til 0:
Lommeregneren afviger sandsynligvis fordi den viser det med færre decimaler, og måske også beregner som om de ekstra decimaler ikke var der. (Det kunne jeg i hvert fald forestille mig.)
Jeg vil gerne vise mine forsøg på en omskrivning af de to grafer, men eftersom jeg altid har lavet en fejl et eller andet sted, ser jeg ikke den store grund til det.
LOL, tænkte nok at I ikke kunne holde cellerne fra endnu et lille stykke "kryptonit".
Jeg sidder og fumler med den, og har en rimelig formodning om hvordan den skal knuses, godt hjulpet af begge de tidligere anviste fremgangsmåder - tak for det. Det er samtidig lige præcis heri at puzzlen ulmer, og jeg kunne ikke rigtigt dy mig for at rode jer med ud i den igen, når I nu havde anvist to meget forskellige metoder tidligere.
Enough talk - here it comes:
Opgave: Anvis koordinaterne til cirkel X i en cirkelformation bestående af ialt 5 cirkler.
For cirkel 1 og cirkel 2 gælder det, at de er omkranset af en "ydercirkel" med radius +2.5.
Cirkel X skal hvile ovenpå ydercirklerne til cirkel 1 og cirkel 2.
Afstanden imellem cirkel X, cirkel 1 og cirkel 2 skal være nøjagtig den samme som afstanden imellem cirkel 1 og 2.
Givet: Cirkel 1: (185.75 ; 104.5) r = 8 (ydercirkel = r + 2.5) Cirkel 2: (203.5 ; 99.0) r = 10 (ydercirkel = r + 2.5) Cirkel X: ( ? ; ? ) r = 6
Tja, ved at følge den samme metode som jeg oprindeligt brugte sidst, men med kontrol af Y-værdien, får jeg det til (196.409994, 112.783389). Det overholder dog ikke helt det sidste krav - afstanden er ikke ens mellem de tre punkter - men det kan så vidt jeg lige kan se heller ikke lade sig gøre, fordi radius på cirklerne ikke er identiske.
Om en time tager jeg på ferie, så der går en uge før jeg kan kigge på det igen. Det kan være der er andre der er friske, men måske et nyt spørgsmål ville måske trække flere til.
Hov for pokker, nu kan jeg da også se jeg er kommet til at bruge den forkerte radius - jeg har åbenbart lige tænkt diameter et enkelt sted ;_;
Vi tager den lige forfra...
Grafregneren kommer frem til (197.1896634, 116.3905047) ved at plotte de to ydercirkler med 6 ekstra i radius. Hvis vi så foretager lidt afstandsberegning...
1->2: 18.52858593 1->X: 16.5 2->X: 18.5
Eftersom både min og terraks metode ender md mindst mulige afstand fra X og til de to andre cirkler, bør han komme frem til det samme. Hvis vi skal have 18.5 til både 1->X og 2->X, skal vi benytte samme metode, men med 18.5 i radius på den forlængede Y1 - dette giver så (119.3598938, 117.0307937), men denne kommer jo så ikke til at berøre Y1.
Hvis det blev rejst som nyt spørgsmål tror jeg bestemt at flere ville springe til. Det nye spørgsmål er dog mest rejst "for sjov", og ligger derfor i forlængelse af de grå hår jeg allerede har sat i hovedet på dig, Terrak, og vores fælles hjernecelle Pidgeot. Det var en "situation" jeg snublede over, da jeg sad og rokerede rundt på cirklerne, og jeg fornemmede, at den på overfladen udfordrede den ene af de to metoder der var blevet anvist i forbindelse med "den første opgave".
Jeg er ret sikker på at jeg løser den i løbet af idag, godt hjulpet af dit (Terraks's) værktøj - men jeg synes at I begge skulle have lov til at puzzle med igen.
Det er en krølle-på-halen; en sluttelig sommerudfording fra en fjern dansk IP-adresse. Pythagoras ville have syntes om en puzzlegruppe på 3 deltagere, så lad det bare blive ved det.
Pidgeot: Glimrende. Vi har et bud! Jeg mangler lige to liniestykker og noget vinkelberegning, så skulle jeg kunne enten be- eller afkræfte udsagnet. Jeg vender tilbage senere idag.
(Jeg får dog afstanden imellem cirklerne til: 0.58258593)
Ved brug af Terrak's teknik, jvf. forrige opgave, når jeg frem til koordinaterne:
(X,Y)=(196.7040457, 114.1260425)
...det er bemærkelsesværdigt langt fra dine koordinater denne gang, Pidgeot? Jeg føler mig dog ret sikker i min gennemgang, og har nærstuderet cirklernes indbyrdes placering ved massive opskaleringer i Illustrator.
Prøv at se hvad du når frem til ved den afstand imellem cirklerne jeg tidligere har opgivet: 0.58258593
Ja, beklager - det var lige en afskrivningsfejl. Der er ganske rigtigt 0.58258593 mellem kanterne på de to indre cirkler, men når folk snakker om afstand mellem cirkler, tænker jeg på cirklernes centrum, ikke selve cirklen - derfor 18.58258593 :)
Jeg tror der er tale om en fejlfortolkning af opgaven
For lige at bekræfte...
"Cirkel X skal hvile ovenpå ydercirklerne til cirkel 1 og cirkel 2.
Afstanden imellem cirkel X, cirkel 1 og cirkel 2 skal være nøjagtig den samme som afstanden imellem cirkel 1 og 2."
Det der betyder altså at X ikke må krydse de to ydercirkler, og at afstanden fra kanten af X til hver af de to ydercirkler skal være de der 0.58258593? Hvis ja, er det der det har knebet med forståelsen.
Din fortolkning er korrekt! - og mine ord misvisende. Undskyld. Det er sætningen "Cirkel X skal hvile ovenpå ydercirklerne til cirkel 1 og cirkel 2" der er problematisk. Jeg skrev det for at holde fokus på toppen af de to ydercirkler (der er jo skæring i top og bund) - men det er tvetydigt, da det får snert af betydningen "tangere" (som jo var tilfældet i den anden opgave).
Det resultat jeg kan komme frem til nu hvor vi har et fælles udgangspunkt, bliver så (197.3308044, 117.0578546) hvis afstanden beregnes i forhold til ydercirklerne, og - ligesom dig - (196.7040457, 114.1260425) hvis afstanden beregnes i forhold til indercirklerne.
Med andre ord, metoden er fin, det er bare lige med at få forståelsen rigtig :)
Jeg brugte den normale afstandformel (sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)), med udgangspunkt i cirklernes centrum, og eftersom du tilsyneladende mente mellemrummet mellem de to indercirkler (og ikke afstanden mellem centrum), trak jeg så 18 fra (0.5825, etc.), da dette er de to cirklers samlede radius (da det er cirkler, er det altid muligt at gøre dette). Dette tal lagde jeg oven i radius på de to forlængede cirkler, tengede ind, og beregnede skærinsgpunkt.
Hvis vi nu kalder mellemrummet for M, så bliver det dermed disse grafer, hvor Y1 og Y2 er indercirklerne, og Y'1 og Y'2 er ydercirklerne:
ok. Cool. Den afstandsformel var jeg ikke bekendt med (belastende, når den nu ligefrem er "normal"). Men det anede mig at du atter havde valgt en snedig genvej (som da du introducerede cirkelløsningen overfor trekantsløsningen i første opgave).
Jeg må sige at jeg er blevet en hel del klogere på både trekanter og cirkler. Herfor har jeg to herrer med beundringsværdig tålmodighed og godt overblik at takke:
D'herrer Terrak og Pidgeot: Tak for hjælpen! - og godt puzzlet!
...jeg håber at jeg en anden gang kan komme snigende, når jeg med garanti, igen, løber frontalt ind i en dræberknude.
Synes godt om
Ny brugerNybegynder
Din løsning...
Tilladte BB-code-tags: [b]fed[/b] [i]kursiv[/i] [u]understreget[/u] Web- og emailadresser omdannes automatisk til links. Der sættes "nofollow" på alle links.
