integration via substitutuion/partiel integration

Hey. Har I lært om dekomposition? -ellers ved jeg ikke lige hvordan det skal gribes an.

S[1/(x²-1)]dx, først benytter du sætningen (a+b)(a-b)=a²-b², på nævneren...

S[1/((x-1)(x+1))]dx, og det er her, at du skal benytte dig af dekomposition. I det efterfølgende nøjedes vi med at kigge på brøken...

1/((x-1)(x+1)) (*), hvis vi skal dekomponere denne rationale funktion, så ønsker vi at bestemme dens "udseende" inden den blev sat på fælles brøkstreg. Dekomposition er således en måde at splitte brøken op i summer, som var det inden, at der dannet fællesnævner og sat på fælles brøkstreg.

Forestil du har to brøker, a/(x-1)+b/(x+1), hvis jeg vil sætte denne på fælles brøkstreg skal du gange leddet a/(x-1) med (x+1) og tilsvarende skal du gange b/(x+1) med (x-1)...

a/(x-1)+b/(x+1) = (x+1)a/((x+1)(x-1))+(x-1)b/((x-1)(x+1))= ((x+1)a+(x-1)b)/((x-1)(x+1)) (**), Som du kan se er der nu sat på fælles brøkstreg, men vi mangler stadig at bestemme værdierne af a og b. Dette kan gøre udfra (*)

Hvis vi kun kigger på tælleren i (**) og sammenligner med tælleren i (*), så får vi, at (x+1)a+(x-1)b = 1 => ax+a+bx-b = 1 => (a+b)x+(a-b) = 1, som du kan se er der ikke noget med x, på højre side, derfor må a+b=0, mens leddene uden x'er skal give 1, dvs. a-b=1.

Det er to ligninger med 2 ubekendte, som giver følgende løsning for a og b, a=1/2 og b=-1/2.

Det betyder altså, at du kan skrive 1/((x-1)(x+1)) som (1/2)/(x-1)-(1/2)/(x+1). Nu kan du altså opskrive dit oprindelig integral som,

S[(1/2)/(x-1)-(1/2)/(x+1)]dx = (1/2)S[1/(x-1)-1/(x+1)]dx = (1/2)(S[1/(x-1)]dx-S[1/(x+1)]dx), De to integraler kan løses ved substitution, t=x-1 hhv. r=x+1, hvorved fås:

(1/2)(S[1/(x-1)]dx-S[1/(x+1)]dx) = (1/2)*ln(x-1)-ln(x+1) = (1/2)*ln[(x-1)/(x+1)]

=(1/2)*ln[((x-1)/x)/((x+1)/x)] = (1/2)*ln[(1-1/x)/(1+1/x)], dvs.

F(x) = (1/2)*ln[(1-1/x)/(1+1/x)], Nu mangler vi at indsætte grænserne, den nederste grænse 2 er fin, men man kan ikke have uendelig som en grænse, dette klares ved at indføre en ekstra variabel, jeg kalder den h. Man lader nu h være den øvre grænse, og derefter betrager man grænseværdien for h->uendelig.Jeg starter med indsætte den nedre grænse, F(2)...

F(2) = (1/2)*ln[(1-1/2)/(1+1/2)] = (1/2)*ln[(1/2)/(3/2)] = (1/2)*ln[1/3] = -(1/2)ln[3]

Nu betragtes den "øvre" grænse, F(h)...

F(h) = (1/2)*ln[(1-1/h)/(1+1/h)], dernæst betragter vi grænseværdien for h->uendelig...

lim{h->inf}F(h) = (1/2)*ln[1/1] = 0, og dermed,

lim{h->inf}F(h) - F(2) = 0-[-(1/2)ln[3]] = ln[3]/2,

Man siger også at integralet int(uendeligt,2,(1/(x^2-1))) er konvergent med værdien
ln[3]/2. :)