23. marts 2005 - 20:10
Der er
7 kommentarer og
1 løsning
Matematik opgave
Jeg sidder med en rigtig dum opgave som lyder:
I vandledningsnettet vil en væsentlig del af den samlede biomasse bestå af bakterier, der sidder på rørvæggene. I en model antages det, at antallet B af bakterier pr. cm^2 som funktion af tiden t (døgn) er løsning til differentialligningen:
dB/dt = 1,2*10^-8*B*(2,6*10^6 - B)
Det oplyses endvidere, at antallet af bakterier til tiden t = 0 er 9*10^4
1) Med hvilken hastighed vokser B på det tidspunkt, hvor antallet af bakterier er 5*10^5
2) Bestem en forskrift for B som funktion af t
Er der nogen der vil hjælpe mig med den her opgave?
24. marts 2005 - 00:08
#3
Oki,! Se her...Starter lige med spg 2, da det er slemmest!
Den differentialligning du har med at gøre har formen y'=y(h-jy), hvor h og j er reelle tal forskellig fra 0. For at indse dette så gang koefficienten til B ind i parentesen:
dB/dt= B'= 1,2*10^-8*B*(2,6*10^6 - B) => B'= B(3,12*10^-2 - 1,2*10^-8*B),
nu har du det netop på formen y'= y(h-jy), hvor:
y'=B' og y=B og h=3,12*10^-2 og j=1,2*10^-8
En løsning til en sådan diff.ligning er: y= (h/j)/(1+K*e^[-h*t]), hvor K er en konstant og e er grundtallet til den naturlige eksponentiel funktion. Hvis vi starter med at se på tælleren "(h/j)", så må det give...
(h/j)=(3,12*10^-2)/(1,2*10^-8)=2,6*10^6. Ved indsættelse af h i nævneren ser udtrykket således ud:
y= 2,6*10^6/(1+K*e^[-3,12*10^-2*t]), for at bestemme K, benytter vi os af den oplysning, at antallet af bakterier til tiden t = 0 er 9*10^4, dvs.
9*10^4 = 2,6*10^6/(1+K*e^[-3,12*10^-2*0]) = 9*10^4 = 2,6*10^6/(1+K) =>
K=(251*10^4)/(9*10^4) = 251/9, dvs at forskriften for B - og dermed svaret på 2), er:
B= 2,6*10^6/(1+{251/9}*e^[-3,12*10^-2*t])...videre til spg. 1...
..der heldigvis er hurtigt klaret! :P
B'=B(3,12*10^-2 - 1,2*10^-8*B), er jo netop et udtryk for væksthastigheden som funktion af B (antallet af bakterier) - og da du ved, at antallet af bakterier, til tidspunktet til den hastighed der spørges til er: 5*10^5, ja så kan du bare indsætte dette på pladsen for B, dvs:
B'(5*10^5) = 5*10^5*(3,12*10^-2 - 1,2*10^-8*5*10^5) => B'(5*10^5)= 12600 bakterier pr. cm^2 pr. døgn.
24. marts 2005 - 00:14
#5
Hehe...det er jo noget værre noget :P
Men er du med på ideèn?! Kan godt være jeg har lavet en fejl et sted, måske hvis levich stadig er med, han lige kan kigge det igennem så vi kan tjekke det..!
24. marts 2005 - 00:17
#7
oki ;D..Hvis du vil give mig pointene så opret et nyt spørgsmål, hvor du henviser (linker) til denne tråd. Så kaster jeg et svar i det nye spørgsmål og der kan du så acceptere svar! ;)
