Matematik og voluminer

Hvis du har mulighed for det, så plot f(x)=x²-6x+10 hhv. y=2, ind på en grafregner eller lignende, det gør det unægtelig noget nemmere at forestille sig situationen.

Du skal bestemme punktmængden M = {(x;y)|f(x)=< y =<2}, når M drejes 360 grader omkring linien givet ved y=2. Jeg går udfra du kender formlen for volumen af en punktmængde, der er drejet 360 grader omkring x-aksen;

V = pi*§_a^b[f(x)^2]dx, § er integral-tegn, a er nedre grænse og b øvre grænse. Det du skal gøre er, at omskrive din punktmængde så du kan bruge den kendte formel. Det gør du ved at trække y fra på begge sider M = {(x;y)|f(x)=< y =<2} <=>
N = {(x;y)|f(x)-2=< y =<0} = {(x;y)|x²-6x+8=< y =<0}. Punktmængden N er ækvivalent med punktmængden M, og fordelen er, at du nu kan bruge den kendte formel, linien y=0, er jo det samme som x-aksen. dog mangler du lige at bestemme skæringspunkterne med x-aksen, den nedre hhv. øvre grænse. Hvis du kalder x²-6x+8 for f1(x), kan du faktorisere polynmoiet, og aflæse rødderne, der svarer til grænserne.

p1(x)=x²-6x+8<=>f1(x)=(x-2)(x-4), dvs. a=2, og b=4, du kan nu skrive din punktmængde,
N = {(x;y)|2=< x =<4 /\ x²-6x+8=< y =<0}, som er ækvivalent med M.

Brug nu formlen: V = pi*§_a^b[f(x)^2]dx = pi*§_2^4[f1(x)^2]dx

Jeg får; V = 16pi/15

Lukker