Matematiske funksjoner, derivasjon, integrasjon.

Til numerisk integration vil jeg klart anbefale Simpsons formel, som er simpel, konvergerer hurtigt og er stabil.

f er en funktion defineret i intervallet [a,b].
N er antallet af iterationer vi anvender, f.eks. 100, 1000 eller mere. N skal være et lige heltal: 2,4,8,10,...

Integralet af funktionen f i intervallet [a,b]
er så tilnærmet ved:

I(f) = (b-a)/(3*N)*(f0 + 4*f1 + 2*f2 + 4*f3 + 2*f4 + ... + 2*f(N-2) + 4*f(N-1) + f(N))

hvor
h=(b-a)/N er interval-bredden
f0 = f(a)
f1 = f(a+h)
f2 = f(a+2*h)
f(i) = f(a+i*h), i=0,1,2,3,..,N
så
f(N) = f(a+N*h) = f(b).

Simpsons formel laver tilnærmelse, ikke ved hjælp af stolpediagram, men parabler (2. grads polynomium).

Derivationer er vel bare

f\'(x) = (f(x+h) - f(x-h))/(2*h) hvor h er et lille tal.

Dette kan så anvendes igen til dobbelt-derivationer.

Eksempel på konsol program, der beregner integralet af en funktion på et givet interval:

//Beregner (numerisk integration) integralet af funktionen f(x) i intervallet [a,b]
// ved hjælp af Simpson\'s formel. Ønskes større nøjagtighed - øg da størrelsen af N til f.eks. 10000
#include \"stdafx.h\"
#include \"math.h\"

double f(double x)
{
  return sin(x);
}

int main(int argc, char* argv[])
{
  int i, N = 1000;
  double a = 0, b = 3.14159265;

  double h = (b-a)/N;
  double f2 = 0, f4 = 0;
  double x;

  // Adder alle elementer der ganges med 4
  x = a+h;
  for (i=1; i<=N-1; i=i+2)
  {
    f4 += f(x);
    x  += h;
  }

  // Adder alle elementer der ganges med 2
  x = a+2*h;
  for (i=2; i<=N-2; i=i+2)
  {
    f2 += f(x);
    x  += h;
  }

  double I = (b-a)/(3*N)*(f(a) + 4*f4 + 2*f2 + f(b));
  printf(\"Integralet af f i intervallet [%f,%f] = %f\\n\",a,b,I);
  // Eksempler:
  // f(x) = sin(x), interval = [0,pi],  integralet er da eksakt 2.
  // f(x) = x*x;    interval = [-1,+1], integralet er da eksakt 2/3 = 0.666666...
    return 0;
}


Til differentiering (derivation):
=================================
f\'(x) = (f(x+h)-f(x-h))/(2*h) for h \"lille\"

f\'\'(x) = (f(x+2*h)+f(x-2*h)-2*f(x))/(4*h*h)
for h \"lille\"

En god on-line bog i numerisk analyse er Numerical Recipes. Den ligger her: http://www.ulib.org/webRoot/Books/Numerical_Recipes/bookcpdf.html Den tager udgangspunkt i C og der er i hvert fald et kapitel om numerisk integration.

/range

Tusen takk !

Det var så lidt :-)