28. maj 2008 - 11:27Der er
7 kommentarer og 2 løsninger
Matematik gåde
Vores matematiklærer har stillet følgende gåde som han ikke tror vi kan løse, er der nogen af jer der har et bud på den?
Alle tallene fra 1-1000 lægges ned i en kasse. Nu trækkes der 2 tal op ad gangen, og det mindste af disse to tal trækkes fra det første. Resultatet lægges nu ned i kassen. Dette bliver man ved med indtil der kun er et tal tilbage - er dette et lige eller et ulige tal?
vi har allerede lavet et PHP-script som kan udregne det, men dette betegnes ikke som en gyldig løsning. Løsningen skal altså være dokumenteret!
Ud fra dette konkluderede Gauss (som 8-årig), at summen af tallene fra 1 til 1000 måtte være 500500. Det vigtige er, at dette tal er lige. Altså er summen af sedlerne i hatten fra begyndelsen af lige.
Hvis man ser på to tilfældige tal, vil man indse, at hvis deres sum er lige, så er deres differens det også. Og modsat, hvis summen er ulige, så er differensen ulige.
Derfor sker der ikke noget med summen af tallene fra 1 til 1000 ved at man erstatter to sedlers sum med to sedlers differens.
Konklusionen er, at da summen af sedlerne fra starten af var lige, ja så forbliver den lige gennem hele lærerens skrivekrampefremkaldende proces! Citat slut.
Hmm, jeg synes ikke at det er et helt stilrent bevis.
Jeg ville gøre det på denne måde:
Træk to tilfældige tal fra puljen. De kan hver især enten være ulige, U, eller lige, L. Hvis vi ordner dem i stigende rækkefølge kan det se ud på 4 måder:
U U U L L U L L
Hvis vi udfører den lille fratrækning lægges der et nyt tal, ulige eller lige, tilbage i bunken:
U U -> L U L -> U L U -> U L L -> L
I det første tilfælde forsvinder der 2 ulige tal og kommer 1 nyt lige tal til. I de andre tre tilfælde forsvinder totalt set 0 ulige tal og 1 lige tal:
U U -> L : (antalU, antalL) -> (antalU-2, antalL+1) U L -> U : (antalU, antalL) -> (antalU, antalL-1) L U -> U : (antalU, antalL) -> (antalU, antalL-1) L L -> L : (antalU, antalL) -> (antalU, antalL-1)
I startbunken af talene 1-1000 er der netop 500 ulige tal. Dvs. at der er et _lige_ antal ulige tal til at starte med. Da antallet af ulige tal enten falder med 2 eller er det samme efter hver trækning, vil antallet af ulige tal _fortsætte_ med at være lige.
Når vi er nået til sidste trækning er der kun 1 tal tilbage. Det må jo så nødvendigvis være et lige tal (plus 0 ulige tal).
Dette bevis kan uden videre udvides til et vilkårligt start interval. :^)
Begge beviser er nu fine nielle. I det første skal formuleringen "Derfor sker der ikke noget med summen af tallene..." nok ændres til "Derfor sker der ikke noget med om summen af tallene er lige eller ulige..."
Og I kan jo prøve det af en gang til på en kasse med tallene fra 1 til 10 - knap så meget skrivekrampe ;)
Tilladte BB-code-tags: [b]fed[/b] [i]kursiv[/i] [u]understreget[/u] Web- og emailadresser omdannes automatisk til links. Der sættes "nofollow" på alle links.
