juleferie opgave i matematik

Kender du til princippet for induktionsbeviser?

Hvilken klasse går du i?

Du må hellere regne efter:
http://test.n0p.com/eksperten/574974/indu.pdf

> erikjacobsen

Hvad er det for en side (http://test.n0p.com/eksperten/574974/indu.pdf), du har fat i dér?
Er det et websted man kan gå på og nemt lave sider med matematiske udtryk o.l.?
Det ville ofte være en stor, stor fordel!

Selve beviset er jo et gammelt klassisk, enkelt og smukt induktionsbevis. Et bevis man nok ofte støder på, når man lærer om induktionsbevisets princip.
Og det er helt sikkert også denne metode, læreren har forestillet sig anvendt i denne situation.
Faktisk er jeg også ret sikker på, at man kan bevise det på en anden måde - uden brug af induktion!
Det vil jeg lige se på.

Så fik jeg endelig styr på det…….. jeg var lige ved at blive utålmodig.

Hvis ikke I er meget for induktionsbeviser, har I her en direkte udledning af relationen, men jeg tvivler stærkt på, at en lærer i gymnasiet vil anse det for sandsynligt at I selv skulle have fået ideerne, som ligger i denne udledning, men det må I selv rode med. Det er dog på den anden side også helt lovligt at søge information, hvor man kan få den. Det vigtigste er sådan set bare, at I er med på principperne i udledningen; så har I nemlig lært noget.
Alene det at I har arbejdet med det og forsøgt at løse det, gør at I har lært noget.
Det samme gælder for den fysikopgave, som I har stillet.

Man har at

(k+1)^3  =  k^3 + 3k^2 + 3k + 1

Denne omskrives til

3k^2 + 3k + 1  =  (k+1)^3 - k^3

Nu er vi nået så langt som, at vi har noget med ”i anden” på venstresiden og noget med ”i tredje” på højresiden!
Nu gør vi simpelthen det, at vi opskriver dette udtryk lige fra k = 1 og op til og med k = n–1;
det giver i alt n–1 ligninger:

3(1)^2  +  3(1)  +  1  =  2^3  -  1^3
3(2)^2  +  3(2)  +  1  =  3^3  -  2^3
    . .
    . .
    . .
3(n-1)^2  +  3(n-1)  +  1  =  n^3  -  (n-1)^3

Alle disse ligninger lægges blot sammen (venstresiderne for sig og højresiderne for sig). Derved forsvinder alle led på højresiden, på nær to:

3[1^2 + 2^2 + ... +  (n-1)^2 ] +  3[1 + 2 + ... + (n-1)] + (n-1) =  n^3 – 1^3

Den anden sum i parentesen på venstresiden giver ½n(n-1), hvilket dermed giver

3[1^2 + 2^2 + ... +  (n-1)^2 ]  =  n^3 – 1^3 - 3[½n(n-1)] - (n-1)

1^2 + 2^2 + ... +  (n-1)^2  =  (n^3)/3  -  (n^2)/2  +  n/2  -  n/3

1^2 + 2^2 + ... +  (n-1)^2  =  (n^3)/3  -  (n^2)/2  +  n/6

Så er vi næsten ved vejs ende allerede. Vi lægger nu blot n^2 til på begge sider,
hvorved relationen som vi ønskede at vise, fås:
             
           
          1^2 + 2^2 + ... +  n^2  =  (n^3)/3  +  (n^2)/2  +  n/6
     


_______________________________________




Da jeg har på fornemmelsen, at erikjacobsens link ikke vil være tilgængeligt om nogen tid (da det ligger på et testområde på en webside) giver jeg lige induktionsbeviset også, så det kan læses til hver en tid.


GENERELT  OM  INDUKTIONSBEVISER 
(fra Den Store Danske Encyklopædi) :
Citat:
”Beviset forløber i to dele:
1)  Vis, at P(1) er sandt.
2)  Antag, at P(n) er sandt; vis under denne antagelse, at P(n+1) er sandt.
Ved hjælp af 1) og 2) kan vi nu slutte, at P(1), P(2), P(3),... er sande. At dette udtømmer de naturlige tal, er en grundlæggende egenskab ved disse. Inden for aksiomatiseringen af aritmetikken kaldes induktionsprincippet for Peanos femte aksiom; det er ækvivalent med, at enhver ikke-tom delmængde af de naturlige tal har et mindste element.”

Kommentar:
Sætningen:
”det er ækvivalent med, at enhver ikke-tom delmængde af de naturlige tal har et mindste element.”

....kaldes også for ”velordnings-princippet”! (engelsk: Well-Ordering principle), som er en ANDEN måde at udtrykke princippet om matematisk induktion på. En tredje variant findes også.
Del 2) i bevisteknikken kaldes også for INDUKTIONSAKSIOMET, og en dybtgående analyse af talbegrebet viser at de hele tals øvrige egenskaber i det væsentlige er konsekvenser af gyldigheden af dette aksiom.

________________

Jeg skal give et induktionsbevis, der er lidt anderledes i sin argumentation end det erikjacobsen har givet et link til. Men de to er i princippet helt ækvivalente!

Et bevis ved modstrid  – "Reductio ad Absurdum" ("Bevise ved en Modstrid"):

Vi skal vise
A(n):  1^2 + 2^2 + .... +  n^2  =  (n^3)/3  +  (n^2)/2  +  n/6

Sættes n = 1 fås:
A(1):    1^2  =  1/3  +  1/2  +  1/6 

Nu er der kun to muligheder.
Disse:
1)  A(n) er SAND for ethvert positivt helt tal
2)  Der er i det mindste ét positivt helt tal for hvilket A(n) er FALSK.

Vi antager nu så at den sidstnævnte mulighed er den rigtige.
Ifølge velordnings-princippet har vi så, at der findes et mindste helt tal k for hvilket A(n) er falsk. Dette k er større end 1, idet vi lige har set at A(1) er sand. Antagelsen 2) er også sand for k – 1, idet k var
det mindste tal for hvilket A(n) er falsk;
Derfor kan vi skrive

A(k – 1): 1^2 + 2^2 + ... + (k - 1)^2  = ((k - 1)^3)/3 + ((k - 1)^2)/2 + (k - 1)/6

Nu lægger vi så k^2 til på begge sider og simplificerer på højresiden,
hvorved vi får

A(k):  1^2 + 2^2 + ....  +  k^2  =  (k^3)/3  +  (k^2)/2  +  k/6

Men denne ligning siger jo rent faktisk, at A(n) er SAND; derfor har vi en modstrid med vores antagelse. Med andre ord fører vores antagelse til en MODSTRID.
Derfor er den første mulighed den rigtige:
At A(n) er sand for ethvert positivt helt tal n.

Dermed har vi nu bevist, at

      A(n):  1^2 + 2^2 + ....  +  n^2  =  (n^3)/3  +  (n^2)/2  +  n/6

for alle n >= 1  (>= betyder her "større end eller lig med").


Et bevis hvor man anvender velordnings-princippet på denne måde, kalder man ligeledes et induktionsbevis.
Selvom det er ”lagt ind i” et modstrids-bevis!