Generelt så har du den mindste overflade til et givet volumen ved at have en kugle, så noget hen i retning af lige stor højde og diameter må give det rigtige ...
>>xited Du er på rette spor. Du kan forkorte lidt i din areal-funktion A(r) = 2r*pi*(V/(r^2*pi))+2r^2*pi => A(r) = 2*(V/r)+2r^2*pi Nu differentierer du denne funktion, og sætter den lig 0, dvs, A'(r) = 0. I denne ligning er det muligt at isolere r, og når du har gjort det, så indsætter du værdien for r i udtrykket for h - det du allerede har skrevet, h = V/(r^2*pi). Håber det gav mening.
God aften! Ser man på dit udsagn: ” Hvordan finder jeg Højde og Radius til en cylinder, blot ud fra volumen?”…………..så er svaret, at det kan IKKE lade sig gøre.
Forestil dig, at jeg giver dig en cylinder med volumen V, længde L (eller højden, om du vil) og radius r. Lad os så antage at vi kan trykke den lidt sammen, så L bliver mindre og r bliver større, men sådan at voluminet V er uforandret.
Altså har vi nu to cylindere med forskellige længder og forskellige radier, men med ens voluminer. Derfor kan du se, at man ikke entydigt kan bestemme højden og radius i en cylinder, når du bare har fået oplyst voluminet. Der er uendelig mange løsninger til det spørgsmål.
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
DU ER BESTEMT PÅ RETTE VEJ I DIN OPSKRIVNING, xited !
OM SELVE OPGAVEN Det vi skal finde ud af er om din overfladearealfunktion A( r ) har et minimum. Altså om vi kan finde en r-værdi, hvor overfladen af cylinderen er mindst i forhold til et givet bestemt volumen V af den. Og samtidig bestemme hvilket forhold, der i givet fald eksisterer imellem ’radius’ og ’længden’ af cylinderen i dette tilfælde. Altså vi vil også gerne vide
L = x r
forstået sådan at vi skal bestemme værdien af x = L/r
Som LUIGI skriver skal du differentiere funktionen for dit samlede overfladeareal og så finde evt. nulpunkter for A’( r ), som er den differentierede funktion.
MEN DET ER IKKE NOK !
Det er faktisk ikke kun gjort med det ! Man er n ø d t til at undersøge om den r-værdi du finder derved, giver et minimum eller et maksimum for din A( r )–funktion. Ellers kan det jo lige så vel være at du har fundet et maksimum for din arealfunktion, og ikke et minimum.
A ( r ) = 2rrPi + V (2/r) (voluminet V er en konstant)
Dvs. A’( r ) = 4rPi - 2V/(rr)
A’( r ) = 0, giver at r^3 = V/(2Pi). Lidt omskrevet er dette lig med rr = V/(2rPi) og også r = V/(2rrPi). Indsætter man disse udtryk direkte i A’( r ), kan man selv regne efter og se at det giver nul.
For at finde den konkrete r-værdi, hvis man har fået opgivet en værdi for voluminet V, fås selvfølgelig af r^3 = V/(2Pi), ved uddrage kubikroden på begge sider. Bemærk i øvrigt at radius r hverken kan være nul eller negativ. For at vi har en cylinder skal r være positiv!
MAKSIMUM ELLER MINIMUM ? Nu er der tilbage at undersøge om den r-værdi, vi har fundet, giver et maksimum eller et minimum for vores overfladearealfunktion ! Det gør man normalt ved at differentiere overfladearealfunktionen én gang til, så man finder A’’( r ).
L o k a l t M i n i m u m For et lokalt minimum for en funktion f ( x ), gælder at f ’’( x ) hele tiden er positiv i nærheden af (i en omegn af) punktet, dvs. positiv både til venstre og til højre for det lokale minimumspunkt, samt i punktet. Det svarer til at f ’(x) er negativ, men v o k s e n d e, til venstre for punktet, nul i punktet, for endelig at blive positiv og v o k s e n d e til højre for punktet. Dvs. f ’( x ) vil være en konstant voksende funktion i en omegn af minimumspunktet. NB! Man kan ikke udstrække denne argumentation til hele funktionens definitionsområde, idet en vilkårlig funktion jo sagtens kan have mange både ’lokale minima’ og ’lokale maksima’. Ovennævnte er helt almindelige overvejelser i enhver funktionsundersøgelse i differentialregning.
L o k a l t M a k s i m u m For et lokalt maksimum for en funktion f ( x ) gælder det omvendt, at f ’’( x ) hele tiden vil være negativ i en omegn af punktet.
V i f o r t s æ t t e r n u m e d o p g a v e n
A’’( r ) = 4Pi + 4V/(r^3)
Denne funktion er, som man kan se, p o s i t i v for alle værdier af r større end nul! Husk igen at r ikke kan være nul eller negativ.
Da der er ikke andre ekstremumspunkter for A( r ), giver udtrykket r^3 = V/(2Pi), altså en MINDSTEVÆRDI for overfladearealet, når det indsættes i udtrykket for din ’overfladearealfunktion’.
Voluminet af en vilkårlig cylinder er givet ved
V = Pi (r^2) L
hvor L er længden af cylinderen og r er radius. Dette sammenholder vi med vores fundne udtryk r^3 = V/(2Pi), eller V = 2Pi r^3.
Dvs. Pi (r^2) L = 2Pi r^3
Heraf fås at
L = 2r
For at vende tilbage til begyndelsen, hvor jeg sagde, at L = x r, betyder det at x = 2, som er proportionalitetsfaktoren mellem L og r.
F A C I T OG K O N K L U S I O N
Altså det forhold imellem radius og længde af en cylinder, der minimerer cylinderens overfladeareal er givet ved, at
L = 2r
Det sker altså når cylinderens længde og diameter er lige lange.
......men så føler jeg mig faktisk nu lidt fristet til at drille dig lidt >roenving< (du virker jo umiddelbart som om du ikke vil tage det fortrydeligt op!), for jeg kommer i hu i et andet spørgsmål, hvor jeg havde en lille kommentar til dig, det var 9. nov. kl. 14.17............. og for fuldstændighedens skyld i nærværende sammenhæng bør du så også lige se slutkommentaren dér, den kl.17.51.
Dér var din logiske intuition ikke lige så fremragende som i dette cylinderspørgsmål - i dine tidlige november-bestræbelser på at løse det trekantsproblem med de enkleste intuitive midler!!
Jeg er dog ikke helt så sikker på, at din intuition [din logiske!]i xited's andet spørgsmål om talparrene fra i går 2. dec holder stik! Jeg tror på en løsning dér. Og jeg glæder mig til at prøve!
Jeg ser også meget frem til at møde dig igen roenving, så godnat og på gensyn til dig. Det var hyggeligt. Håber du synes det samme!!
-- jeg kan så tilføje, at logikken i denne sag er adskilligt mere simpel end i det nævnte spørgsmål (559170 !-), men da jeg hverken havde tid og heller ikke havde differentiering m.v. liggende i værktøjskassen ved siden af tastaturet, men skulle søge i gemmerne, kunne jeg kun komme med et simpelt indspark ...
Logikken er, at da kuglen har det teoretisk bedst mulige forhold mellem overflade og rumindhold, skal man selvfølgelig søge efter den type legeme, som kommer nærmest muligt til kuglen i karakteristika (altså her en cylinder med samme højde og diameter !-)
-- en parallel er jo, at det 6-fladede legeme (heksaeder), som har det bedste forhold er kubussen ...
-- og den udvides jo simpelt til at et hvilketsomhelst ligefladet legeme med flere sider kommer endnu nærmere, så et ikosaeder (20 sider) er det ligesidede platoniske legeme, som har det bedste forhold ...
-- og lige et indspark omkring matematikken i spørgsmålet om talparrene:
Det vil aldrig lykkes dig at finde en funktion, som kan dække (du kan simpelt indse det ved at 1200, 1500, 1800 og 2000 repræsenterer funktionsværdier med præcis 10 i forskel !-) uden at du bruger en højordens-funktion, som jo så ikke vil være kontinuerlig i hele intervallet !o]
Synes godt om
Ny brugerNybegynder
Din løsning...
Tilladte BB-code-tags: [b]fed[/b] [i]kursiv[/i] [u]understreget[/u] Web- og emailadresser omdannes automatisk til links. Der sættes "nofollow" på alle links.
Ny bruger
Nybegynder
Opret
Preview
