Lineær, eksponentiel og potens

Jeg er måske ikke en af dem, du kalder kloge, men hvis jeg kan,vil jeg gerne hjælpe dig. Jeg ved ikke ,hvad du mangler, det er jo i hvert fald lidt sent at begynde med grundlæggende.
Prøv med konkret spgm.- det er jo nok ikke f(x)=ax,du vil have forklaret ?

Nej så grundlæggende er det ikke. :) men mit eksamens spørgsmål lyder ordret som jeg har skrevet det her. Men det er mere det at de vil have de VIGTIGSTE egenskaber, så mangler en måde at formulere det på.

fortegn paa funktionen og afledte funktioner var vel et sted at starte

Det lyder ret fornuftigt faktisk. Men hvad med potens så?

En lineær funktion vokser, øh, lineært, ;)  som    a*x
En potensfunktion, med potens større end 1 vokser hurtigere, når vi kommer langt nok ud til højre på x-aksen. Som    b*x^2
En ekspontialfunktion vokser endnu hurtigere, som man siger: eksponentialt. Som  c^x

Eksponentielt vækst er sjældent "godt" - med mindre vi snakker om min indkomst.

Det vil nok være for langsommelig,hvis vi skal køre 'ping/pong',i stedet vil jeg foreslå,du prøver google, - der kan du hurtigt få kvalificerede svar suppleret med eksempler.
Jeg prøvede med lineær funktion,- forklaring starter sådan:
En lineær funktion er en funktion, hvis graf er en ret linje eller en del af en ret linje. Ligningen for en ret linje (der ikke er parallel med y-aksen) er som bekendt,
Og eksponentiel starter sådan:
Den eksponentielle vækst er en måde, hvorpå en mængde kan forøges eller formindskes. Dette er f.eks. formeringen af bakterier eller henfald af radioaktive stoffer. Renters rente er også et eksempel på en eksponentiel vækst.
Prøv selv, det er sikkert og hurtigt, og hvis du så kører fast et sted, kan vi prøve med 'assistance/kunstig åndedræt'.

Google er afprøvet i flere timer inden jeg opretter et spørgsmål her inde.

Samtidig er det ikke en redegørelse af funktionerne jeg søger, det kan jeg sagtens selv. Jeg skal redegøre for de VIGTIGSTE egenskaber.

Hej dkclajen.

Dejligt, at du gør så meget for din matematikeksamen. Jeg har en fortid som matematiklærer på gymnasiet, og vil gerne hjælpe dig med at komme på rette spor. Men du må selv sørge for at udfylde detaljerne, da det vil tage for lang tid at gøre her.

For det første bør du granske dine noter - Det kan meget nemt være, at din matematiklærer har lagt specielt vægt på nogle egenskaber ved funktionerne i hans undervisning, og at det er de egenskaber han henviser til. Men jeg har to bud til dig herfra, der begge har at gøre med funktionernes vækst.

Den første:

Lineær udvikling er på formen
f(x) = a*x + b
Af det ser vi, at hvis man giver x-værdien en tilvækst på Dx  (læst delta x), så får funktionen selv en tilvækst på a*Dx. Bevis det ved at regne på udtrykket
f(x + Dx) - f(x) = ...
Det ses heraf, at lineær udvikling er karakteriseret ved, at når x-værdien vokser med en fast værdi (Dx), så vil y-værdien vokse med en tilsvarende fast værdi (a*Dx)

Eksponentiel udvikling er på formen
f(x) = b*a^x,    a>0
Lad os undersøge, hvad der sker med funktionsværdien ved en tilvækst i x-værdien på Dx:
f(x + Dx) = ... = f(x) * a^(Dx)    (Lav selv udregningen)
Her kan man se, at funktionsværdien ganges med tallet a^(Dx), hver gang at x-værdien vokser med Dx. Vi siger, at funktionsværdien er blevet fremskrevet med en fremskrivningsfaktor på a^(Dx). I modsætning til det lineære tilfælde, hvor man adderer noget konstant til funktionsværdien hver gang x-værdien steg med Dx, så ganger man altså med noget konstant i det eksponentielle tilfælde.
Man kan sige, at den eksponentielle udvikling har konstant procentvis vækst hver gang x-værdien stiger med Dx

Potensiel udvikling er på formen
f(x) = b*x^a,  x>0
Potensiel udviklings karakteristika kommer ikke frem ved at kigge på en tilvækst i x-værdien. I stedet skal man kigge på hvad der sker med funktionsværdien, hvis man ganger x-værdien med et konstant tal. Det vil sige, man fremskriver med en konstant fremskrivningsfaktor - Lad os kalde den for k.
f(k*x) = ... = f(x) * k^a  (lav selv udregningen).
Vi kan altså se, at den potensielle udvikling er karakteriseret ved, at hver gang man ganger x-værdien med k, så fremskrives funktionsværdien med k^a.

Opsummerende kan man sige:

                              x-værdi                f(x)-værdi
---------------------------------------------
Lineær vækst:      + konstant              + konstant
Eksp. væskt        + konstant              *  konstant
Poten. vækst        * konstant                *  konstant


Hvor skemaet skal læses som lineær vækst er karakteriseret ved, at hver gang man lægger samme konstant til x-værdien så lægger man en (anden) konstant til funktionsværdien.



Den anden mulighed (som også er nævnt tidligere i denne tråd, har med "styrken" af de forskellige udviklinger at gøre. Lad os antage, at vi har med en lineær vækst at gøre og en eksponentiel vækst at gøre. Når jeg siger vækst mener jeg bare, at begge udviklinger er voksende funktioner. Man kan vise, at en eksponentiel vækst altid vil overhale en lineær vækst - Det er altså ligegyldigt hvor store de laver a og b i den lineære vækst og hvor små  (men positive) du laver a og b i den eksponentielle vækst, så vil der ske det, hvis du bare lader x vokse, så vil funktionsværdien for den eksponentielle blive større end funktionsværdien for den lineære vækst. Du kan jo vælge at bevise denne påstand, men du kan også vælge at tage et eksempel med ind til eksamen, som du har regnet på forhånd, der viser at selv den svageste eksponentielle vækst vil slå selv den stærkeste lineære vækst.

Lignende gør sig gældende for potensielle udviklinger idet end potensiel også altid vil slå en lineær vækst, mens den potensielle selv bliver slået af den eksponentielle.

Håber du kan bruge dette svar til noget - Jeg har med vilje ikke lavet hele arbejdet for dig - Der skal jo være noget ti ldig selv, så du kan fortjene den karakter du får :)

Fik ikke lige skrevet, at den potensielle vækst skal have a > 1 for at det sidste jeg skriver om at den altid slår den lineære vækst, er sandt...

Hvad angår min matematik lære tvivler jeg på han hentyder til noget bestemt i hans undervisning da han blot kommer fra ingeniør verden og bare ville undervise og dermed har "stjålet" de mundtlige spørgsmål fra nettet og givet os dem. :) Det er jo det som gør det lidt svære at vide hvad der lige er vigtigt ved de 3 funktioner.

Men tror helt sikker jeg kan bruge det til noget, men bliver bare lidt i tvivl om ikke det mest henvender sig til at redegøre for funktionerne?

En del af det spørgsmål er nemlig også at redegøre for funktionerne og derefter redegøre for deres vigtigste egenskaber.

Men kunne se at arne_v nævnte noget med den afledet, det er jo lige nettop der man bruger lineær og eksponentiel for at bestemme monotoniforhold, toppunkter osv. men kunne dog ikke lige se hvad der så skulle være vigtigt i en potens hvis man skal tænke i den retning?

Hej dkclajen.

Hvad der er vigtigt afhænger selvfølgelig af, hvad man har brugt funktionerne til.  Når man snakker om dem som udviklinger, så er det typisk fordi man vil bruge dem som modeller. Det kunne f.eks. være at man vil beskrive en befolkningstilvækst ved hjælp af en eksponentiel udvikling, prisen på en telefonsamtale som en lineær udvikling, osv. I sådanne tilfælde giver det meget god mening at karakterisere de egenskaber, jeg har i det første tilfælde, som de vigtigste egenskaber - Det er nemlig de egenskaber, du vil bruge, når du skal vælge hvilken  udvikling, der passer bedst til din modeL: Prisen på en telefonsamtale har det typisk sådan, at hvis du lægger et vist antal minutter til samtalen, så stiger prisen med et fast beløb - Det svarer til egenskaberne ved lineær vækst, og derfor er en lineær model sikkert en god beskrivelse. Tager man derimod en befolkningstilvækst, så kunne man godt forestille sig at det er den samme procentuelle vækst der er hvert år. Det er egenskaben ved den eksponentielle vækst og dermed egner den sig sikkert som en god model for befolkningsvækst.

Det hører også med til argumentet, at de egenskaber, jeg beskriver for dig under det første afsnit er definerende for funktionerne. Det skal forstås på den måde, at hvis du har en funktion, der opfylder en af egenskaberne - f.eks. egenskaberne for lineær udvikling, så er funktionen en lineær udvikling!

Når du snakker om afledte funktioner, så har stort set alle de funktioner du har været i nærheden af på B-niveau en afledt funktion - Inklusiv den potensielle udvikling. Du kan ganske rigtigt bruge den afledte funktion til at beskrive monotoniforhold og dermed også toppunkter - Det vil jeg nu ikke karakterisere som funktionernes vigtigste egenskaber. I stedet vil jeg sige, at de fortæller om funktionernes udseende ( husk på, at monotoniforhold og toppunkter er meget simple for disse funktioner, idet de altid er enten voksende eller aftagende og dermed ikke har nogle toppunkter).

Men når alt det er sagt, så er det dig, der har været til undervisningen, og det er der, i har valgt at anskue funktionerne ud fra en bestemt synsvinkel. Min synsvinkel er selvfølgelig farvet af, hvad jeg selv lagde vægt på i min undervisning.

Det lyder ikke helt dumt det der, det tror jeg helt sikkert at jeg vil gøre brug af til at besvare den del af min opgave.

Smider du et svar er pointne helt sikkert dine for de gode besvarelser. :)

Held og lykke i morgen...

Jo tak, og tak for hjælpen. :)